北师大版数学九上·2.3 用公式法解一元二次方程（第1课时）（课件+教案含练习）
展开第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
教学目标 1.通过探索求根公式的过程，培养学生的抽象思维能力. 2.使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程，理解并会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况. 3.在探索和应用求根公式的过程中，使学生进一步认识特殊与一般的关系. 教学重难点 重点：掌握一元二次方程的求根公式并应用. 难点：一元二次方程求根公式的推导. 教学过程 导入新课 回忆巩固 如何用配方法解下列方程： （1）3x²＋6 x－5＝0； （2）4x²－x－9＝0. 师生活动：（1）找两位同学到黑板上板演，其他同学在练习本上做. （2）由学生说出用配方法解一元二次方程的步骤. 探究新知 一、预习新知 利用配方法推导一元二次方程的求根公式. 让学生自主预习课本41~42页，解答下列几个问题. 若给出一个一元二次方程：a＋bx＋c＝0(a≠0)，你觉得应该如何利用配方法求解？ （1）a＋bx＋c＝0(a≠0)方程的两边同时除以a可得到 . （2）把上式中的常数项移项可得到 . （3）如果对上式进行配方，方程两边应加什么式子？这个式子怎样得到？ . （4）配方后可得 . （5）思考：对于上式能不能直接进行开平方，为什么？ 结论：对于一元二次方程a＋bx＋c＝0(a≠0)，当 时，它的根是x＝ ，式子 称为求根公式，用 解一元二次方程的方法称为公式法. 二、合作探究 提出问题：用配方法解一元二次方程：a＋bx＋c＝0(a≠0). 学生在演算纸上自主推导，并针对自己推导过程中遇见的问题在小范围内自由研讨，最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式. 移项，得a＋bx＝－c， 二次项系数化为1，因为a≠0， 所以方程两边都除以a，得＋， 配方，得 ＋＋， . 因为a≠0，所以＞0. 当≥0时， 两边开平方并移项整理，得 ，. 方程a＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写成.
师生共同总结：一元二次方程求根公式：. 归纳总结：对于方程a＋bx＋c＝0(a≠0)，若≥0，就可以求出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 问题1：当0时，方程的两个实数根相等吗？ 不相等. 问题2：当0时，方程的两个实数根相等吗？ 相等. 问题3：当0 时，方程有实数根吗？ 方程没有实数根. 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判断，我们把b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示. 巩固练习 不解方程，判断方程根的情况. (1)16x2＋8x＝－3； (2)4x2＋4x＋1＝0； (3)x2－7x＋8＝0； (4)x2－7x－18＝0. 解：(1)没有实数根. (2)有两个相等的实数根. (3)有两个不相等的实数根. (4)有两个不相等的实数根. 教师点拨：将方程化为一般形式，再用判别式判断一元二次方程根的情况. 典型例题 【例1】用公式法解下列方程： (1)x2－5x－3＝0； (2)3x2－8x＋1＝0； (3)2x(x－1)－7x＝2. 【问题探索】用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求解的关键是什么？ 【解】(1)a＝1，b＝－5，c＝－3， 则Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－3)＝37>0. 方程有两个不相等的实数根x＝＝， 即x1＝，x2＝. (2)a＝3，b＝－8，c＝1，则Δ＝b2－4ac＝－4×3×1＝52>0. 方程有两个不相等的实数根x＝＝， 即x1＝，x2＝. (3)原方程整理，得2x2－9x－2＝0.其中a＝2，b＝－9，c＝－2， 则Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. 方程有两个不相等的实数根x＝＝， 即x1＝，x2＝.
【总结】用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；(2)求出Δ＝b2－4ac的值；(3)当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即x1＝，x2＝；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－；当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根. 【例2】已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是________. 【问题探索】三角形的三边满足什么关系？怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？ 【解析】Δ＝(2c)2－4(a＋b)(a＋b)＝4c2－4(a＋b)2＝4(c＋a＋b)(c－a－b). ∵ a，b，c分别是三角形的三边， ∴ a＋b＞c，∴ c＋a＋b＞0，c－a－b＜0， ∴ Δ＜0，故原方程没有实数根. 【答案】没有实数根 【总结】解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及利用根的判别式“Δ＝b2－4ac”判断方程根的情况. 课堂练习 1.已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，则下列说法正确的是( ) A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.方程没有实数根 D.无法确定 2.若在实数范围内定义一种运算“*”，使a *b＝（a+1）2，则方程（x＋2）*5＝0的解是 ( ) A.x＝－2 B.， C.， D.， 3.方程（m－2）x2 －有两个实数根，则m的取值范围是( ) A.m B.m≤ C.m≥3 D.m≤ 4.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )
5.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0. (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根； (2)求证:不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
参考答案 1.B 2.D 3.B 4.B 5.解：（1）∵ 1为原方程的一个根，∴ 1＋a＋a－2＝0，∴ a＝. 将a＝代入方程得x2＋x－＝0. 解得，. ∴ a的值为，方程的另一根为. （2）证明：对于方程x2＋ax＋a－2＝0， Δ＝a²－4a＋8. ∴ 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 课堂小结 (学生总结，老师点评) 1.一元二次方程求根公式：，根的判别式Δ＝b2－4ac.
2.一元二次方程根的判别式与根的关系：
布置作业 1.（必做题）课本习题2.5 知识技能 1，2 2.（选做题）课本习题2.5 问题解决 4
板书设计 3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法解一元二次方程 求根公式推导过程： a＋bx＋c＝0(a≠0)， 移项，得a＋bx＝－c， 二次项系数化为1，因为a≠0， 所以方程两边都除以a，得＋， 配方，得 ＋＋， . 因为a≠0，所以＞0. 当≥0时， 两边开平方并移项整理，得 ，.
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