2023年湖北省黄冈、孝感、咸宁部分初中学校中考一模数学试题

2023年春季九年级一模考试

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．C．

2．A．

3．B．

4．C．

5．B．

6．．

7．A．

8．解：∵△EDC旋转得到△HBC，

∴∠EDC＝∠HBC，

∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，

∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，

∴∠EDC＝135°，故①正确；

∵△EDC旋转得到△HBC，

∴EC＝HC，∠ECH＝90°，

∴∠HEC＝45°，

∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，

∵∠ECD＝∠ECF，

∴△EFC∽△DEC，

∴，

∴EC2＝CD•CF，故②正确；

设正方形边长为a，

∵∠GHB＋∠BHC＝45°，∠GHB＋∠HGB＝45°，

∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，

∵∠GBH＝∠EDC＝135°，

∴△GBH∽△EDC，

∴，即，

∵△HEC是等腰直角三角形，

∴，

∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，

∴△HBG∽△HDF，

∴，即，解得：EF＝3，

∵HG＝3，

∴HG＝EF，故③正确；

过点E作EM⊥FD交FD于点M，

∴∠EDM＝45°，

∵ED＝HB＝2，

∴，

∵EF＝3，

∴，

∵∠DEC＋∠DCE＝45°，∠EFC＋∠DCE＝45°，

∴∠DEC＝∠EFC，

∴，故④正确

综上所述：正确结论有4个，

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．xy（x＋3）（x﹣3）．

10．31°．

11．．

12．14．

13．3．

14．20．

15．解：题中数字可以化成：

，，，；

，，，；

∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，

∵，28是第14个偶数，而14÷4＝3…2，

∴的位置记为（4，2），

故答案为：（4，2）．

16．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，

在Rt△ADE中，

∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，

∴，

∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，

∴APx，AQ＝2x，

∴，

在△APQ和△AED中，

，∠A＝45°，

∴△AED∽△APQ，

∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，

∴AP＝PQx，

∴当点Q在AD上运动时，yAP•AQxx＝x2，

由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），

∴AD＝2x＝6cm，

当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：

此时S△APQ＝S△APF＋S四边形PQDF﹣S△ADQ，

在Rt△APF中，APx，∠PAF＝45°，

∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，

∴S△APQx2（x＋2x﹣6）•（6﹣x）6×（2x﹣6），

即y＝﹣x2＋6x，

当x时，y＝﹣（）2＋6，

故答案为：．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．解：原式，

当时，原式．

18．解：（1）设每台甲型设备的价格为x万元，每台乙型设备的价格为y万元，

依题意得：，解得：．

答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为10万元．

（2）设购买m台甲型设备，则购买（10﹣m）台乙型设备，

依题意得：12m＋10（10﹣m）≤110，解得：m≤5，

又∵m为正整数，

∴m的最大值为5．

答：该公司甲种型号的设备至多购买5台．

19．解：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，

故答案为：4，5；

（2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：

1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，

∵4出现的最多，有6次，

∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数4，

故答案为：4，4；

（3）30090（人）．

答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．

20．解：（1）点B（﹣3，﹣1）在反比例函数y的图象上，

∴n＝﹣3×（﹣1）＝3，

∴反比例函数的关系式为y，

当x＝1时，m3，

∴点A（1，3），

把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝kx＋b得，

，解得：，

∴一次函数的关系式为y＝x＋2，

答：反比例函数关系式为y，一次函数的关系式为y＝x＋2；

（2）由图象可知，不等式kx＋b的解集为x＞1或﹣3＜x＜0；

（3）一次函数的关系式为y＝x＋2与y轴的交点C（0，2），即OC＝2，

当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2，

即S△COP＋S△POQ＝2，而S△POQ|k|，

∴|t|×22，即|t|，∴t

因此t时，使以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2．

21．（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠CAO，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DC，

∴CO⊥DC，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，

∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，

∵OE＝6cm，

∴AC＝12cm，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°＝∠ADC，

又∠DAC＝∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴，即，

∴ADcm．

22．解：（1）当0＜x≤5时，设AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0）

把A（0，14）和B（5，9）代入得：，解得：，

∴AB的解析式为：y＝﹣x+14（k≠0）；

综上，y与x的函数关系式为：；

（2）由表格规律可知：p与x的函数关系是一次函数，

∴当1≤x≤10时，设解析式为：p＝kx+b，

把（1，320）和（3，360）代入得：，解得：，

∴p＝20x+300，

同理得10＜x≤15时的解析式为：p＝﹣100x+1500，

综上，p与x的函数关系式为：；

（3）设销售额为w元，

当0＜x≤5时，w＝py＝（﹣x+14）（20x+300）＝﹣20x2﹣20x+4200＝﹣20（x）2+4205，

∵x是整数，

∴当x＝1时，w有最大值为：﹣20×（1）2+4205＝4160，

当5＜x≤10时，w＝py＝9（20x+300）＝180x+2700，

∵x是整数，180＞0，

∴当5＜x≤10时，w随x的增大而增大，

∴当x＝10时，w有最大值为：180×10+2700＝4500，

当10＜x≤15时，w＝9（﹣100x+1500）＝﹣900x+13500，

∵﹣900＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴x＝11时，w有最大值为：﹣900×11+13500＝3600，

综上，在这15天中，第10天销售额达到最大，最大销售额是4500元.

23．解：（1）如图（2），∵∠ACD＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCE＝90°，

∴∠BCE＝∠ACD，

∵BC＝AC，EC＝DC，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，

而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，

而△CDE为等腰直角三角形，

故DE＝EFCF，

则BF＝BD＝BE＋ED＝AFCF；

即BF﹣AFCF；

（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，

过点C作CG⊥CF交BF于点G，

∵∠ACF＋∠ACG＝90°，∠ACG＋∠GCB＝90°，

∴∠ACF＝∠BCG，

∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，

∴△BCG≌△ACF（ASA），

∴GC＝FC，BG＝AF，

故△GCF为等腰直角三角形，则GFCF，

则BF＝BG＋GF＝AFCF，

即BF﹣AFCF；

（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，

而BC＝kAC，EC＝kDC，

即，

∴△BCE∽△ACD，

∴∠CAD＝∠CBE，

过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由（2）知，∠BCG＝∠ACF，

∴△BGC∽△AFC，

∴，

则BG＝kAF，GC＝kFC，

在Rt△CGF中，GF•FC，

则BF＝BG＋GF＝kAF•FC，

即BF﹣kAF•FC．

24．解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4）；

令y＝0，则﹣x2＋x＋4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，

∴A（﹣2，0），B（3，0）．

故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．

（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），

∴P（1，4），

∴CP＝1，AB＝5，

∵CP∥x轴，∴＝＝．

②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋4．

设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2＋m＋4），Q（m2﹣m，﹣m2＋m＋4）．

∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2＋m，

∵PQ∥AB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2＋，

∴当m＝时，的最大值为．

另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．

（3）假设存在点P使得∠BCO＋2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．

方法一：过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，

∵∠BCO＋2∠PCB＝90°，∠BCO＋∠BCF＋∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，

延长CP交x轴于点M，

∵CF∥x轴，∴∠PCF＝∠BMC，

∴∠BCP＝∠BMC，

∴△CBM为等腰三角形，

∵BC＝5，

∴BM＝5，OM＝8，∴M（8，0），

∴直线CM的解析式为：y＝﹣x＋4，

令﹣x2＋x＋4＝﹣x＋4，解得：x＝或x＝0（舍），

∴存在点P满足题意，此时m＝．

方法二：作∠CBO的角平分线BG交CO于点G，

∴，∴OG＝，∴G（0，），

∴BG的解析式为y＝，

又∵BG∥CP，

∴∴直线CP的解析式为：y＝﹣x＋4，

令﹣x2＋x＋4＝﹣x＋4，解得：x＝或x＝0（舍），

∴存在点P满足题意，此时m＝．