冀教版数学九上 25.7 相似多边形和图形的位似（第2课时） 教学课件+教案

教学目标

1.了解位似图形及有关概念，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.

2.理解相似多边形与位似多边形的联系与区别.

教学重难点

重点：位似图形的定义、性质与作图.

难点：利用位似将一个图形放大或缩小.

教学过程

导入新课  

在日常生活中，经常遇到一些把图形放大或缩小，但是图形的形状不改变的情形. 观察下面的图形，它们有哪些相似点？

下面我们就一起来学习一种把图形放大或缩小的方法.

设计意图：教师抛出问题，激发学生的思考，从而能调动学生学习的积极性，为下面的学习奠定基础.

探究新知

一、问题探究

如图8所示，已知△ABC及△ABC外的一点O.

请按如下步骤画出△A'B'C'.

(1)画射线OA，OB，OC.

(2)分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC.

(3)连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'.

【思考】

1.请你判断AB与A'B'，AC与A'C'，BC与B'C'的位置关系，并说明理由. 

让学生在课本上动手画一画，交流结论

解:AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.

理由:∵ OA＝AA'，OB＝BB'，

∴ AB∥A'B'，同理可得AC∥A'C'，BC∥B'C'.

2.△ABC与△A'B'C'相似吗?为什么?

学生小组交流，尝试说明一下理由，教师规范表述.

解：相似.

∵ AB∥A′B′，∴ ，

同理可得，，

∴ ，

∴ △ABC∽△A′B′C′.

合作探究一

如图9所示，点O在四边形ABCD的内部，请按“一起探究”中的步骤画一个四边形A'B'C'D'，使得四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，=2，对应边互相平行，且经过每对对应点的直线相交于点O.

【思考】

1.“一起探究”中，的值是多少？它与点O到点A与点A′的距离的比有什么关系？

2.“一起探究”中的画图步骤有哪些?

3.若使四边形的对应边=2，那么四边形内部点O到各顶点的距离比是多少？

4.你能在四边形内部画出符合条件的四边形吗？

师生活动，一起探究，得出相关结论.

作法：（1）连接OA，OB，OC，OD；

（2）分别在OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，

使得；

（3）顺次连接A′，B′，C′，D′，得四边形A′B′C′D′.

观察图形，学生总结，教师指导：得到位似图形的有关概念.

       两个相似多边形的每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比.

注意：每组对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行.

师：位似多边形与相似多边形有什么区别与联系？

生：位似多边形任意一组对应点所在的直线都经过同一点，位似多边形一定是相似多边形，相似多边形不一定是位似多边形.

例1　请指出下列图形哪些是位似图形，并指出位似图形的位似中心.

图 10　　　　　　　

归纳： 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点.

师生活动：通过上例归纳位似图形的性质

1.位似图形的对应角相等，对应边成比例；

2.位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；

3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；

4.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

合作探究二

如图11，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且相似比为2.

图 11

小组内讨论、交流，学生代表表述作法并在黑板上画出图形.

（1）画射线OA，OB，OC；

（2）在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD=2OA，OE=2OB，OF= 2OC；

（3）顺次连接DE，EF，FD，△DEF与△ABC位似，相似比为2.

引发学生思考：这是两个三角形在点O的同侧的画法，若两个三角形在点O的异侧该如何画呢？让学生独立画出图形.

归纳：

画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心；

（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；

（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；

（4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形.

典型例题

例2　（1）如图12（1），已知五边形ABCDE，在位似中心点O的同侧作五边形ABCDE的位似图形A′B′C′D′E′，使五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为1∶3；[来源:Z+xx+k.Com]

（2）如图12（2），已知六边形ABCDEF，位似中心点O在AB边上，在点O的另一侧作位似图形A′B′C′D′E′F′，使六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比为1∶2.

（1）　　　　　　　　　　　（2）

图 12

【问题探索】依据位似图形的作图步骤作图即可.

解：（1）画法如下：

①分别连接OA，OB，OC，OD，OE；

②分别在OA，OB，OC，OD，OE上截取OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，使＝＝＝＝＝；

③顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′.

五边形A′B′C′D′E′就是所求作的五边形.

（2）画法如下：

①分别连接AO，BO，CO，DO，EO，FO并延长；

②分别在AO，BO，CO，DO，EO，FO的延长线上截取OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，OF′，使＝＝＝＝＝＝；

③顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，F′A′.

六边形A′B′C′D′E′F′就是所求作的六边形.

【总结】（1）画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点，画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧；二是每对对应点都在位似中心的两侧.（2）若没有指定位似中心的位置，则画图时位似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心时，画图最简便.

课堂练习

1.下列说法正确的是(　　)

A.如果两个图形是位似图形，那么这两个图形一定全等

B.如果两个图形是位似图形，那么这两个图形不一定相似

C.如果两个图形是相似图形，那么这两个图形一定位似

D.如果两个图形是位似图形，那么这两个图形一定相似

2.如图13，网格中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（      ）

A.点M      　　　　　B.点N     　　　　C.点O　　　　　　   D.点P

图 13

3.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在(　　)

A.原图形的外部            　　　　　　　 B.原图形的内部

C.原图形的边上             　　　　　　　D.任意位置

4.如图14，△ABC∽△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′是以点______为位似中心的位似图形.若OA＝2AA′，则△ABC与△A′B′C′的相似比为________.

图 14

5.指出下列各图中两个图形是不是位似图形.若是，请指出位似中心.

　　　　　（1）　　　  （2）            （3）              （4）

图 15

6.已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2且与它位似的正方形.

7.如图16所示，四边形ABCD的一个位似图形是四边形A′ B′ C′ D′ ，且A，B，C，D的对应点分别是A′ ，B′，C′，D′. 图中给出了AB的对应边A′ B′所在的位置，请把四边形A′ B′ C′ D′其余部分补画上.

图16　　          　　　　　　　　图17

8.如图17所示，在8×8的网格中建立直角坐标系，每个小方格的顶点叫做格点.△ABC的顶点都在格点上，坐标分别A(1，1)，B(4，1)，C(3，2)，以原点O为位似中心，在网格中作出△ABC的位似图形△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC的位似比是2∶1.

参考答案

1.D　2.D  3.D  4.O   2∶1

5.解：（1）（2）（4）中的两个图形都是位似图形，位似中心分别为A，P，P；（3）中的两个图形不是位似图形.

6.解：画射线OA，OB，OC，OD;在射线OA，OB，OC，OD上分别取点D，E，F，使OE = 2OA，OF = 2OB，OG = 2OC，OH = 2OD;顺次连接E，F，G，H，使正方形ABCD与正方形EFGH位似，位似比为1∶2.

图18　　　　　　          　　　　　　图19

7.解：（1）连接AA′，BB′，相交于点O，则点O 为位似中心；

（2）作射线CO，DO ；

（3）分别过点A′，B′作A′ D′∥AD 交射线DO 于点D′，B′ C′∥ BC 交射线CO 于点C′ ；

（4）连接C′D′，四边形A′ B′ C′D′即为所要画的图形（如图19所示）.

8.解:所画图形如图20所示，其中△A'B'C'即为所求.

课堂小结

(学生总结，教师点评)

位似图形的定义；位似图形的性质；位似图形的画法.

布置作业

教材第98页习题.

板书设计

25.7　相似多边形和图形的位似

第2课时　图形的位似

1.位似多边形的定义；

2.位似图形的性质；

3.位似图形的画法步骤.

教学反思

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