初中数学26.1 锐角三角函数教学课件ppt

教学目标

1.理解锐角的正弦与余弦的定义、锐角三角函数的概念.

2.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数.

3.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.

教学重难点

重点：正弦与余弦的概念，熟记30°、45°、60°角的三角函数值.

难点：能灵活运用锐角三角函数进行相关运算..

教学过程

复习巩固

1.直角三角形两锐角、三边之间的关系：

如图16，在Rt △ABC中，∠C＝90°.

两锐角关系：∠A+∠B＝90°.

三边关系：AC2 + BC2 ＝AB2.

2.相似三角形的性质：

相似三角形对应边成比例，对应角相等.

3.∠A的正切的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c.

∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，

即tan A＝ ＝.

导入新课

活动1（学生交流，教师点评）

【探究】任意画Rt△ABC 和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系.能解释一下吗？

图18

教师引出课题： 26.1　　锐角三角函数

第2课时  正弦、余弦

探究新知

探究点一　锐角的正弦、余弦

活动2（学生交流，教师点评）

接着探究上面的问题，可得在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，因为∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

.

图19

这就是说，在Rt△ABC中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

【总结】

1.∠A的正弦的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即

sin A＝＝.

活动3（学生交流，教师点评）

【思考】

一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角∠A取其他确定的值时，∠A的邻边与斜边的比值还会是一个固定的值吗？

【探索】观察下图，

图21

易知 Rt△AB1C1∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3，

则＝，＝＝.

同样可以发现，对于锐角∠A的每一个确定的值，不仅对边与邻边，对边与斜边的比是一个定值，其邻边与斜边的比值也是一个定值.

【总结】

2.∠A的余弦的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c.

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，

即.

探究点二　锐角三角函数的概念

【归纳】在Rt△ABC中，∠C＝90°，对于锐角∠A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角∠A的函数.同样地，cos A，tan A也是锐角∠A的函数.

sin A＝＝，

cos A＝＝，

tan A＝ ＝，

以上分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的锐角三角函数.

锐角三角函数的取值范围：

0<sin A<1，　　0<cos A<1，　　tan A>0.

【注意】sin A、cos A、tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

活动4　合作探究解决问题（小组交流，教师点评）

探究点三　30°、45°、60°角的三角函数值

活动5　（学生交流，教师点评）

【思考】两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

答案：两块三角尺中有30°、45°、60°角.

接着探究上面的问题.

（1）30°、60°角的三角函数值

设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，

另一条直角边长＝，

，，.

图23

，，.

（2）45°角的三角函数值

设45°所对的两条直角边长为a，则斜边长＝.

图24

，cos 45°＝，tan 45°＝.

【总结】30°、45°、60°角的三角函数值：

由特殊角的三角函数值可得：

对于sin α与tan α，角度越大，函数值也越大；

对于cos α，角度越大，函数值越小. （α为锐角）

新知应用　

典例讲解(师生互动)

例1　求下列各式的值：

(1) 2 sin 30°+3tan 30°- tan 45°；     (2) (sin 45°tan 60°sin 60°.

【探索思路】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值.

解： (1) 2 sin 30°+3tan 30°-tan 45°

＝.

(2) (sin45°tan60°sin60°

＝.

【题后总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，要做到既能由角得值，又能由值得角.

【即学即练】

求下列各式的值：

（1）cos260°+sin260°；    （2）.

【解】 （1）cos260°+sin260° ＝1.

（2）＝0.

例2　在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，AB＝13，求∠A的三个三角函数值.

解：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝.

例3　如图26，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sin A =，求 cos A、tan B 的值.

解：∵ ，

∴ .

又∵ .

∴ .

例4　如图27，∠C＝90°，CD⊥AB.

(1)sin B可以是哪两条线段之比?

(2)若AC＝5，CD＝3，求sin B的值.

解：（1）.

（2）∵ ∠B＝∠ACD，

∴ sin B＝sin∠ACD.

在Rt△ACD中，AD＝ ＝ ＝4，

sin∠ACD＝，

∴ sin B.

【题后总结】(学生总结，老师点评)求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.

【即学即练】（小组交流，教师点评）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，求cos A、sin B、tan B的值.

【解】∵ sin A＝＝，

∴ 设AB＝13x，BC＝12x.

由勾股定理，得AC＝＝＝5x.

∴ cos A＝＝，sin B＝＝，tan B＝＝.

【题后总结】(学生总结，老师点评)根据sin A＝能得到BC与AB的关系，进而通过设未知数，根据勾股定理求出AC.

课堂练习

1.如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sin A的值（　　）

A.扩大100倍      B.缩小100倍 　　　　C.不变           D.不能确定

2.已知∠A，∠B为锐角.

(1)若∠A=∠B，则sin A          sin B;

(2)若sin A=sin B，则∠A         ∠B.

3.如图28，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tan A＝，求sin A、cos B的值.

图28

4.求下列各式的值：

(1) 1－2 sin 30°cos 30°；           (2) 3tan 30°－tan 45°+2sin 60°.

5.如图29，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cos A =，求 sin A、tan A的值.

图29      　　             图30        　         图31

6.如图30，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin A、cos A、tan A的值.

7.如图31，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6.  求cos B及tan B 的值.

参考答案

1.C　

2. = ， =

3.解:∵ ，AC＝8，

.

，.

4.解：（1）原式＝1-2×.

（2）原式＝.

5.解：∵ ，

∴ 可设AC＝15k，AB＝17k.

∴ BC＝，

∴ ，

.

6.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB ＝10，BC＝6，

由勾股定理，得，

∴ ，

.

7.解：如图32所示，过点A作AD⊥BC于点D.

∵ AB＝AC，∴ BD＝CD＝3.

在Rt△ABD中，

∴ AD＝，

∴ .

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

1.锐角∠A的正弦，余弦，正切

sin A＝＝；

cos A＝＝；

tan A＝ ＝.

锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的锐角三角函数.

【注意】sin A、 cos A 、tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

2. 30°、45°、60°角的三角函数值

布置作业

教材第107页练习题第1，2，3题.

板书设计

26.1　锐角三角函数

第2课时  正弦、余弦

【探究】　　　　　　　　　　　　　例1

1.锐角∠A的正弦，余弦

　　　　　　　　　　　　　　　　　例2

sin A＝＝；

cos A＝＝；            例3

tan A＝ ＝.

2.30°、45°、60°角的三角函数值

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