冀教版数学九上 28.3 圆心角和圆周角（第1课时） 教学课件+教案

教学目标

1.理解圆心角的概念,掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系及推论.

2.学会运用圆心角、弧、弦之间的关系进行简单的计算和证明.

教学重难点

重点: 理解并掌握圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题.

难点：圆心角、弧、弦之间关系中的“在同圆或等圆”条件的理解及关系的证明.

教学过程

导入新课

问题情境：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形能与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？

师生活动：学生观察图形思考，并回答问题，教师引导.

【归纳总结】圆是中心对称图形.

教师追问：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？

【归纳总结】圆是中心对称图形，对称中心是圆心，而且把圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与圆重合，这是圆的旋转不变性.

探究新知

1.圆心角

（1）定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .

（2）圆心角∠AOB 所对的弧为.

（3）圆心角∠AOB 所对的弦为AB.

辨析概念：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.

（1）           （2）           （3）           （4）

师生活动：学生根据圆心角的定义回答问题，教师引导强调概念.

【解】（1）是圆心角；

（2）不是，顶点不在圆心；

（3）不是，顶点在圆上；

（4）是圆心角.

【归纳总结】圆心角的顶点在圆心上.

2. 圆心角、弦、弧之间的关系

【问题情境】在☉O中，当圆心角∠AOB＝∠COD，那么他们所对的弦AB和弦CD相等吗？所对的和相等吗？为什么？

师生活动：（引发学生思考）如何证明线段相等？如何证明两条弧相等？

【解】如图1，∵ 圆具有旋转不变性，

把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OC重合,

∠AOB＝∠COD，∴ 射线OB与OD重合.

又∵ OA＝OC,OB＝OD,

∴ 点A与点C重合，点B与点D重合，

∴ AB与CD重合，和重合，

∴ AB＝CD, ＝.

【归纳总结】

圆心角、弧、弦之间的相等关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.

∠AOB＝∠COD

3.圆心角、弧、弦之间的相等关系的推论

在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，若两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.

【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.

教师追问：圆心角、弧、弦之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？

师生活动：学生小组讨论，在教师的引导下，举出反例.

【解】不可以，如图2.

图2

新知应用

例　如图3所示,已知AB为☉O的直径,点M,N分别在AO,BO上,CM⊥AB,DN⊥AB,分别交☉O于点C,D,且.求证：CM=DN.

图3　　　　　　　　　　　　　图4

师生活动：（引发学生思考）求证CM=DN，由圆心角、弧、弦之间的相等关系的推论，可以转化为证明什么？转化后的结论又应该怎样证明？

【证明】如图4所示,连接OC,OD.

∵ ，即，

∴ .∴∠AOC=∠BOD.

在Rt△CMO和Rt△DNO中,

∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°.

又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,

∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.

【归纳总结】（学生总结，老师点评） 在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.

课堂练习

1.如图5，AB，CD是☉O的两条弦.

（1）如果AB＝CD，那么_________，___________ .

（2）如果，那么_________，___________.

（3）如果∠AOB＝∠COD，那么________，_______.

2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于         .

3.在同圆中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则与的关系是（  ）

    A.＝2   B.>2     C.< 2      D.不能确定

4.如图6，已知AB，CD为☉O的两条弦，.求证:AB＝CD.

图6                           图7

5.如图7，A,B,C是☉O上三点，∠AOB＝120°，点C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由.

参考答案

1.（1）　∠AOB＝∠COD

（2）AB＝CD　∠AOB＝∠COD

（3）　AB＝CD

2.60°

3.A

4.证明：连接OA,OB,OC,OD（图略）.

        ∵ ∴ ∠AOD＝∠BOC，

∴ ∠AOD+∠BOD＝∠BOC+∠BOD，

即∠AOB＝∠COD，

∴ AB＝CD.

5.解:四边形OACB是菱形.

理由如下：连接OC（图略）.

∵ ∠AOB＝120°，点C是的中点，

∴ ∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.

又∵ CO＝BO，∴ △OBC是等边三角形，∴ OB＝BC.

同理可得，△OCA是等边三角形，∴ OA＝AC.

又∵ OA＝OB，∴ OA＝AC＝BC＝OB，

∴ 四边形OACB是菱形.

课堂小结

1.圆心角的定义.

2.圆心角、弧、弦之间的相等关系.

3.圆心角、弧、弦之间的相等关系的推论.

布置作业

教材第155页习题A组第1,2题.

教材第155页习题B组第1,2题.

板书设计

28.3　圆心角和圆周角

第1课时

1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

2.圆心角、弧、弦之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.

3.圆心角、弧、弦之间的相等关系的推论：在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.

教学反思

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