2022天津河西区高一上学期期末数学试题含解析

河西区2021—2022学年度第一学期高一年级期末质量调查

数学试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据并集的运算，求得，再结合补集的运算，即可求解.

【详解】由题意，全集，，，

可得，所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

2. 已知命题：角为第二或第三象限角，命题：，命题是命题的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.

【详解】当角为第二象限角时，，

所以，

当角为第三象限角时，，

所以，

所以命题是命题的不充分条件.

当时，显然，当角可以为第四象限角，命题是命题的不必要条件.

所以命题是命题的既不充分也不必要条件.

故选：D

3. 设命题：，则的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

本题根据题意直接写出命题的否定即可.

【详解】解：因为命题：，

所以的否定：，

故选：B

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.

4. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（    ）

A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.

【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，

则，整理得：，

当时，，当时，，因此，由得：，解得，

所以此户居民本月的用水量为.

故选：D

5. ，，这三个数之间的大小顺序是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可

【详解】解：因为在上为减函数，且，

所以，

因为在上为增函数，且，

所以，

因为在上为增函数，且，

所以，

综上，，

故选：C

6. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);

再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.

7. 若一元二次不等式的解集为，则的值为（　　）

A.  B. 0 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由不等式与方程的关系转化为，从而解得．

【详解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，

∴，

解得，k＝﹣1，m＝﹣1，

故m+k＝﹣2，

故选：C．

8. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的单调性得到关于k的不等式组，解出即可．

【详解】解：f（x）＝＝1+，

若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，

则，故k≤﹣2，

故选：C．

9. 已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.

【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，

则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，

而函数在上单调递增，且当时，，因此，，

方程，

于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，

在同一坐标系内作出函数与的图象如图，

观察图象知，函数与的图象有3个公共点，

所以方程解的个数为3.

故选：A

【点睛】思路点睛：图象法判断方程的根的个数，常常将方程变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.

10. 已知角的终边经过点，则的值是______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据三角函数定义得到，，进而得到答案.

【详解】角的终边经过点，

，，

.

故答案为：.

11. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．

解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，

并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．

Rt△AOC中，r=AO==，

从而弧长为 α×r=2×=，

故答案为．

考点：弧长公式．

12. 已知，那么的值为___________.

【答案】##0.8

【解析】

【分析】由诱导公式直接可得.

详解】

.

故答案为：

13. 已知，则函数的最大值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】由函数变形为，再由基本不等式求得，从而有，即可得到答案.

【详解】∵函数

∴

由基本不等式得，当且仅当，即时取等号.

∴函数的最大值是

故答案为.

【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

14. 下列四个命题中：

①若奇函数在上单调递减，则它在上单调递增

②若偶函数在上单调递减，则它在上单调递增；

③若函数为奇函数，那么函数的图象关于点中心对称；

④若函数为偶函数，那么函数的图象关于直线轴对称；

正确的命题的序号是 ___________.

【答案】②③

【解析】

【分析】根据奇函数、偶函数的性质可判断①②，结合平移变换可判断③④.

【详解】奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性，故①错误，②正确；因为函数为奇函数，图象关于原点对称，的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到，故的图象关于点对称，故③正确；函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位长度得到，因为为偶函数，图象关于y轴对称，所以的图象关于直线轴对称，故④错误.

故答案为：②③

15. 若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.

【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，

则当时，，，

所以当时，；

依题意，在上单调递增，

则，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：；

三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16 计算下列各式：

（1） （式中字母均为正数）；

（2）.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件利用指数运算法则化简作答.

（2）根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算性质计算作答.

【小问1详解】

依题意，.

【小问2详解】

.

17. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）.

（1）求这一天6~14时的最大温差；

（2）写出这段曲线的解析式；

（3）预测当天12时的温度（，结果保留整数）.

【答案】（1）20℃；   

（2）()；   

（3）27℃.

【解析】

【分析】（1）观察图象求出函数的最大、最小值即可计算作答；

（2）根据给定图象求出解析式中相关参数，即可代入作答；

（3）求出当时的y值作答.

【小问1详解】

观察图象得：6时的温度最低为10℃，14时的温度最高为30℃，

所以这一天6~14时的最大温差为20℃.

【小问2详解】

观察图象，由解得：，周期，，即，则，

而当时，，则，又，有，

所以这段曲线的解析式为：，.

小问3详解】

由（2）知，当时，，

预测当天12时的温度为27℃.

18. 已知.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数的最值并写出取最值时自变量的值；

（3）若函数为偶函数，求的值.

【答案】（1）；   

（2）当时，；当时，；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求解作答.

（2）利用（1）中函数，借助正弦函数的最值计算作答.

（3）求出，再利用三角函数的奇偶性推理计算作答.

【小问1详解】

依题意，，

由得：，

所以函数的单调递减区间是.

【小问2详解】

由（1）知，当，即时，，

当，即时，，

所以，当时，，当时，.

【小问3详解】

由（1）知，，因函数为偶函数，

于是得，化简整理得，而，则，

所以的值是.

19. 已知函数（，）．

（1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若，，求关于的不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，且，3是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出，，进一步可得不等式等价于，即，最后求解不等式即可；

（2）当时，时，不等式等价于，从而分类讨论，，三种情况即可求出不等式所对应的解集．

【小问1详解】

解：的不等式的解集为，

，且，3是方程的两个实数根，

，，解得，，

不等式等价于，即，

故，解得或，

所以该不等式的解集为；

【小问2详解】

解：当时，不等式等价于，即，

又，所以不等式等价于，

当，即时，不等式为，解得；

当，即时，解不等式得或；

当，即时，解不等式得或，

综上，当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为．

20. 已知.

（1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求和的解析式；

（2）若和在区间上都是减函数，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下， 比较和的大小.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得出关于和的等式组，即可解得函数和的解析式；

（2）利用已知条件求得；

（3）化简的表达式，令，分析关于的函数在上的单调性，由此可得出与的大小.

【小问1详解】

由已知可得，，，

所以，，

，解得.

即.

【小问2详解】

函数在区间上是减函数，

则，解得，

又由函数在区间上是减函数，得，则且，

所以 .

【小问3详解】

由（2），

令，

因为函数和在上为增函数，

故函数在上为增函数，

所以，，

而，

所以，

即.