北京市昌平区2022届高三二模数学试题 （原卷版）

北京市昌平区2022届高三二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设复数z满足，则z= （ ）

A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i

3．为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（    ）

A． B． C． D．

4．记为等差数列的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的焦距为，其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．//

B．

C．//平面

D．平面

8．已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，则关于的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

10．在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（    ）

A．① B．①② C．②③ D．①②③

二、填空题

11．抛物线的准线方程为__________．

12．展开式中常数项为___________（用数字作答）.

13．若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.

三、解答题

14．如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)求点到平面的距离.

15．已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

(1)求的解析式；

(2)设，若在区间上的最大值为，求的最小值．

条件①：的最小值为；

条件②：的图象经过点；

条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.

注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

16．某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.

(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；

(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望;

(3)为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）

17．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

18．已知函数，.

(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；

(2)若函数无零点，求实数的取值范围；

(3)当时，函数在处取得极小值，求实数的取值范围.

19．已知数列，给出两个性质：

①对于任意的，存在，当时，都有成立；

②对于任意的，存在，当时，都有成立．

(1)已知数列满足性质①，且，，试写出的值；

(2)已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；

(3)若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．

四、双空题

20．已知是△的边的中点，，，则______；______

21．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.

参考答案：

1．A

2．A

3．D

4．B

5．D

6．A

7．B

8．C

9．C

10．B

11．

12．

13．（答案不唯一）

14．(1)证明见解析

(2)

(3)

15．(1)；

(2).

16．(1)

(2)分布列见解析，

(3)

17．(1)

(2)证明见解析

18．(1)

(2)

(3)

19．(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

20．     3     ##-0.75

21．