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    北京市石景山区2023届高三一模数学试题 (解析版)

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    北京市石景山区2023届高三一模数学试题 (解析版)

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    这是一份北京市石景山区2023届高三一模数学试题 (解析版),共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题,双空题等内容,欢迎下载使用。
    北京市石景山区2023届高三一模数学试题 一、单选题1.已知集合,则    A B C D【答案】A【分析】解一元二次不等式得集合,再根据并集运算得结果.【详解】由解得,所以,又所以.故选:A.2.在复平面内,复数对应的点的坐标为,则    A B C D【答案】C【分析】根据复数对应点坐标得的值,再利用复数的除法可得结果.【详解】复数对应的点的坐标为,则,所以.故选:C.3.已知双曲线的离心率是2,则    A12 B C D【答案】B【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.【详解】由题意可得解得故选:B.4.下列函数中,是奇函数且在定义域内单调递减的是(    A BC D【答案】D【分析】根据函数的奇偶性,基本初等函数的单调性,逐项判断即可.【详解】对于A,函数为奇函数,但在定义域上函数不单调,故A不符合;对于B的定义域为,则为偶函数,故B不符合;对于C的定义域为,则为奇函数,又函数上均为增函数,故上为增函数,故C不符合;对于D的定义域为,则为奇函数,又函数上为减函数,上为增函数,故上为减函数,故D符合.故选:D.5.设,则的(    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据基本不等式判断充分性,根据举反例说明必要性不成立,即可得结论.【详解】因为,则,当且仅当时等号成立,故充分性成立;,满足,但,故必要性不成立,所以的充分而不必要条件.故选:A.6.已知数列满足:对任意的,都有,且,则    A B C D【答案】B【分析】根据对任意的,有,且,求得的值,即可得的值.【详解】对任意的,都有,且,所以,所以.故选:B.7.若函数的部分图象如图所示,则的值是(    A B C D【答案】A【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心,即可求得最小正周期,从而可求的值,结合图象代入已知点坐标即可得的值.【详解】由图可知,所以的一个对称中心,由图象可得最小正周期满足:,则,又,所以则由图象可得,所以,又,所以.故选:A.8.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度(单位:)与燃料的质量(单位:),火箭(除燃料外)的质量(单位:)的函数关系是.当燃料质量与火箭质量的比值为时,火箭的最大速度可达到.若要使火箭的最大速度达到,则燃料质量与火箭质量的比值应为(    A B C D【答案】D【分析】根据对数运算法则可求得,由此可得结果.【详解】由题意得:即当火箭的最大速度达到,则燃料质量与火箭质量的比值为.故选:D.9.已知直线:被圆:所截得的弦长为整数,则满足条件的直线有(    A6 B7 C8 D9【答案】B【分析】圆C的圆心为,半径,直线l过定点,故直线l被圆C截得的弦长范围为,结合圆的对称性,再检验斜率不存在的直线l的情况即可得出答案.【详解】圆的圆心为,半径直线l化为,则直线l过定点在圆内,时,直线l被圆C截得的弦长最短为过圆心C时,直线l被圆C截得的弦长最长为10故直线l被圆C截得的弦长范围为因为弦长为整数,则弦长的取值为78910由圆的对称性,故满足弦长为整数的直线7.故选:B.10.已知正方体的棱长为2,点为正方形所在平面内一动点,给出下列三个命题:若点总满足,则动点的轨迹是一条直线;若点到直线与到平面的距离相等,则动点的轨迹是抛物线;若点到直线的距离与到点的距离之和为2,则动点的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是(    A0 B1 C2 D3【答案】C【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系,即可确定满足满足的动点的轨迹,从而可判断;利用线线关系将点线距离转化为点点距离,结合圆锥曲线的定义即可判断动点的轨迹,即可得判断②③,从而可得答案.【详解】对于,如图在正方体中,连接在正方体中,因为四边形为正方形,所以平面平面,所以平面,所以平面平面平面平面,点总满足所以平面,所以,则动点的轨迹是一条直线,故正确;对于平面,平面,则点到直线等于的距离,到平面的距离等于的距离,的距离等于的距离,由抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线,故正确;对于,点到直线的距离等于的距离,所以的距离与到点的距离之和为2,即,则点的轨迹为线段,故不正确.所以正确的命题个数是2.故选:C. 二、填空题11.向量,若,则_________.【答案】##0.5【分析】根据平面向量的坐标平行运算得,利用同角三角函数的商数关系式即可得的值.【详解】向量,若,则,所以.故答案为:.12.若的展开式中含有常数项,则正整数的一个取值为_________.【答案】3(只要是3正整数倍即可)【分析】根据二项式通项公式即可求出结果.【详解】的展开式的通项为的展开式中含有常数项需要满足,所以只要是3正整数倍即可.故答案为:3(只要是3正整数倍即可).13.项数为的有限数列的各项均不小于的整数,满足,其中.给出下列四个结论:,则,则满足条件的数列4个;存在的数列所有满足条件的数列中,首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①②④【分析】根据有限数列的性质,及满足,其中,利用不等式放缩,结合等比数列求和可得,即可确定的值,从而可判断①③④的正误,若,得,结合,求得的关系,根据不等式求得的范围,一一列举得数列,即可判断②.【详解】由于有限数列的各项均不小于的整数,所以又因为所以所以,且为整数,所以,故不正确,正确;时,得,所以,则,故正确;时,得,因为,所以,则所以为整数,则的可能取值为,对应的的取值为故数列可能为,共4个,故正确.故答案为:①②④.【点睛】思路点睛:项数为的有限数列的性质入手从各项,结合不等式放缩,确定的范围,从而得的值,逐项验证即可. 三、解答题14.如图,在中,,点在边上,.(1)的长;(2)的面积为,求的长.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据三角形中邻补角互补,,由平方关系得,再结合正弦定理即可求得的长;2)由得面积可得,再结合余弦定理即可求得的长.【详解】(1)因为,所以中,因为所以中,由正弦定理得,所以2的面积为,得因为,所以又因为,所以中,由余弦定理得所以.15.某高校植物营养学专业学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象,观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后,分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本,得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量(单位:厘米)1组鸡冠花株数920922组鸡冠花株数4161643组鸡冠花株数1312132 假设用频率估计概率,且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株,估计株高增量为厘米的概率;(2)分别从第1组,第2组,第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株,记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米,求的分布列和数学期望(3)表示第组鸡冠花的株高增量为表示第组鸡冠花的株高增量为厘米,,直接写出方差的大小关系.(结论不要求证明)【答案】(1)(2)分布列见解析,(3) 【分析】(1)根据表格数据,第1组所有鸡冠花中随机选取1株,得厘米的总数,由古典概型概率公式可得结果;2)首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率,然后可确定所有可能的取值,根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率,由此可得分布列;根据数学期望计算公式可求得期望;3)由两点分布方差计算公式可求得的值,由此可得大小关系.【详解】(1)设事件从第1组所有鸡冠花中随机选取1株,株高增量为厘米根据题中数据,第1组所有鸡冠花中,有20株鸡冠花增量为厘米,所以估计为2)设事件从第2组所有鸡冠花中随机选取1株,株高增量为厘米设事件从第3组所有鸡冠花中随机选取1株,株高增量为厘米根据题中数据,估计为估计为根据题意,随机变量的所有可能取值为0,1,2.3,且的分布列为:0123 所以.3理由如下:,所以,所以,所以所以.16.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面为等腰直角三角形,且,点为棱上的点,平面与棱交于点.(1)求证:(2)从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知,求平面与平面所成锐二面角的大小. 条件条件:平面平面条件.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据条件可以证明平面,再利用线面平行的性质定理即可证明出结论;2)选条件①②可以证明出两两垂直,建立空间直角坐标系,求出相应坐标,再求出两平面的法向量,进而求出结果;选条件①③②③同样可以证明求解.【详解】(1)证明:因为底面是正方形,所以平面平面,所以平面又因为平面交于点.平面,平面平面所以.2)选条件①②侧面为等腰直角三角形,且平面平面平面平面平面,平面,又为正方形,所以.以点为坐标原点,分别为,,轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系因为,所以点的中点,则从而:设平面的法向量为:,可得设平面的法向量为:,则,可得所以则两平面所成的锐二面角为选条件①③侧面为等腰直角三角形,且,且两直线在平面内,可得平面平面,则.又因为且两直线在平面内,平面平面因为,所以为等腰三角形,所以点的中点又因为,所以为等腰直角三角形,下面同①②选条件②③侧面为等腰直角三角形,且平面平面平面平面平面,平面为正方形,所以.又因为且两直线在平面内,则平面平面因为,所以为等腰三角形,所以点的中点.下面同①②17.已知椭圆:过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆,两点及两点.的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据椭圆过点,且离心率为列方程组求得的值,即可得椭圆的方程;2)讨论直线的斜率不存在时,直线的斜率不存在时,求各交点坐标即可得的取值,再讨论直线,的斜率均存在,不妨设直线的方程为,则直线的方程为,联立直线与椭圆得交点坐标关系,利用弦长公式即可求得的范围,综合可得答案.【详解】(1)椭圆:过点,且离心率为所以,解得,所以椭圆的方程为2)当直线的斜率不存在时,则直线,代入椭圆方程得所以;直线,代入椭圆方程得,所以所以当直线的斜率不存在时,同理可得当直线,的斜率均存在,不妨设直线的方程为,则直线的方程为,消去恒成立,所以所以同理可得,将换成可得所以综上所述,的取值范围是.18.已知函数.(1)时,)求曲线在点处的切线方程;)求证:.(2)上恰有一个极值点,求的取值范围.【答案】(1))切线方程为;()证明见解析(2) 【分析】(1)当时,求导,根据导数几何意义求解切点坐标与斜率,即可得切线方程;根据导函数的正负确定函数的单调性,即可得函数的最值,即可证明结论;2)根据极值点与函数的关系,对进行讨论,确定导函数是否存在零点进行判断,即可求得的取值范围.【详解】(1)当时, ,又,所以切线方程为.,因为,所以,所以,所以所以单调递增,所以2时,所以 ,由(1)知,所以上单调递增.所以当时,没有极值点,时,因为单调递增.所以单调递增.所以.所以使得.所以当时,,因此在区间上单调递减,时,,因此在区间上单调递增.故函数上恰有一个极小值点,的取值范围是.19.若无穷数列满足以下两个条件,则称该数列为数列.,当时,若存在某一项,则存在,使得.(1),写出所有数列的前四项;(2),判断数列是否为等差数列,请说明理由;(3)在所有的数列中,求满足的最小值.【答案】(1)数列的前四项为:(2)数列为首项为1公差为4的等差数列,理由见解析(3)的最小值为 【分析】1)先根据条件绝对值可得,由再根据条件逐个列举即可;2由条件知,当时,,由,利用反证法假设数列中存在最小的正整数),使得,根据单调性结合条件可知假设不成立,即可得结论;3)先根据条件可得必为数列中的项,再结合条件可得分析即可.【详解】(1)由条件知,当时,因为,由条件所以数列的前四项为:.2)若数列是等差数列由条件知,当时,因为,所以假设数列中存在最小的正整数),使得单调递增,均为正数,且.所以.由条件知,则存在 ,使得此时与均为正数矛盾,所以不存在整数),使得,即.所以数列为首项为1公差为4的等差数列.3)由及条件②,可得必为数列中的项,记该数列为,有不妨令,由条件均不为此时,均不为上述情况中,当时,结合,则有.,得即为所求. 四、双空题20.抛物线的焦点坐标为_________,若抛物线上一点的纵坐标为2,则点到抛物线焦点的距离为_________.【答案】          【分析】根据抛物线标准方程可得焦点坐标,利用抛物线定义可得点到抛物线焦点的距离.【详解】抛物线,所以的焦点坐标为由抛物线的定义可得.故答案为:.21.设函数,则的最大值为_________无最大值,则实数的取值范围是_________.【答案】          【分析】分别分析在两段内的单调性即可求出最大值;讨论所在的区间,分别研究函数在每一段的单调性,根据无最大值列出不等式求出结果.【详解】时,单调递减,时,所以单调递增,在单调递减,则此时所以的最大值为2时,时,单调递减,所以时,单调递增,所以因为无最大值,所以,解得时,时,单调递减,时,单调递增,在单调递减,所以因为无最大值,所以,此种情况无解,舍去;时,时,单调递减,时,单调递增,在单调递减,在单调递增,所以因为无最大值,所以,此种情况无解,舍去;所以实数的取值范围是故答案为: ;② 

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