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所属成套资源：2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）
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热点01 数与式-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）
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这是一份热点01 数与式-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用），文件包含热点01数与式解析版docx、热点01数与式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
在各地中考中，数与式部分主要考查实数及其相关运算、二次根式、整式运算与因式分解、分式及其运算；分值设置在10分左右，整体来看试题难度不大，属于中考中的基础题，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现；注意整式运算与因式分解、分式部分时常出现背景新颖的试题，完全平方公式的灵活应用是本专题中的难点，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
命题热点1：实数及其运算
1）实数的相关概念：考查科学记数法、正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴、实数的分类和大小比较等，该部分的题目整体较为简单，只要认真审题，几乎不易丢分。
2）实数的相关运算：考查实数的混合运算、零次幂、负整数指数幂、二次根式等，这类问题切记符号的变化要正确。
命题热点2：因为分解
主要在选填题中考查，考查形式较为单一，切记因式分解必须分解彻底。
因式分解的步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法），四分组（分组分解法）；
命题热点3：二次根式与分式及其运算：
1）二次根式和分式有意义：当两者结合考查时，不仅被开方数要大于等于0，分式的分母也要不等于0。
2）二次根式与分式的运算：二次根式在化简求值方面，计算时根据二次根式运算性质正确计算即可；分式的运算也多以化简求值题型为主，特别要注意求值问题需要选择数据时，一定要多加小心（不可选择分母为0的数据计算）。
命题热点4：乘法公式（重点：完全平方公式）
乘法公式中完全平方公式是整个数与式中的考查难点和重点，完全平方公式主要考查：完全平方公式含参、知二求二、配方求字母的值和代数式的最值等。
限时检测1：最新各地模拟试题（60分钟）
1．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·重庆璧山·统考一模）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与互为“同心式”，则的值为1；
（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·河北邯郸·校考三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
4．（2022·内蒙古包头·三模）下列命题正确的是（ ）
A．与是同类项，则
B．边长相等的正三角形和正四边形的外接圆半径之比为
C．、是整数，若，，则
D．的算数平方根是3
5．（2022·广东云浮·校联考三模）已知，，则（ ）
A．1B．2C．8D．15
6．（2023·广东佛山·校考一模）以下式子和的值相同的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·浙江丽水·模拟预测）“小马”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目选项是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．2C．D．4
9．（2022·浙江金华·一模）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（ ）
A．（1）与（2）的周长之差B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差D．长方形的周长
10．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：.
以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
11．（2022·广东江门·校考一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果，则．例如，那么___________．
12．（2022·河南郑州·校考模拟预测）已知m为正整数，且，那么m的值等于___ ．
13．（2022·河北沧州·统考二模）2021年10月25日，石家庄市太平河南岸景观带绿道实现贯通，道路贯通后整个太平河形成了南北两岸总面积356.5万平方米的绿色景观带．
（1）数据“356.5万”可以用科学记数法表示为______；（2）嘉嘉和同学相约在南岸（直线b）顺河游玩，北岸（直线a）一个造型别致的亭子A吸引了他们的目光，此时亭子在他们北偏西方向上，已知a与b是平行的，那么嘉嘉他们的位置可能是点M，P，Q中的______点．
14．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红想顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码应该是___.
15．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟预测）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出第六个“品”字形中a的值为___________，c的值为___________．
16．（2022·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
17．（2022·山东滨州·模拟预测）如果代数式的值为，那么代数式的值为___________．
18．（2021·四川乐山·统考二模）已知：，则________．
19．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）对正整数n，记，若，则M的正因数中共有完全立方数为 _____个．
20．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
21．（2023·陕西西安·校考一模）先化简，再求值：，其中
解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来
22．（2022·山东青岛·校考二模）【问题提出】如何对物体的长度进行更精确的测量？青岛二十六中数学组为同学们提供了一种思路，使用专业工具“游标卡尺”对数据进行更精确的测量．
【工具介绍】①是主尺（最小刻度是毫米）；②是游标尺个等分刻度）．它是套在主尺上可移动的部件；③是测量爪．移动游标尺，把被测物体夹在两测量爪之间，两爪之间的距离等于被测物体的长度．
【问题解决】(1)图甲中，当测量爪对齐时，游标尺上的0刻线与主尺上的0刻线对齐，游标尺的第10刻线与主尺上刻线对齐，其它刻线都与主尺上的刻线不对齐，则游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少 ___________毫米．
(2)如果将1张厚度为0.1mm的纸夹在测量爪间，游标尺的第1刻线与主尺刻线对齐，读数为0.1mm；如果将2张这样的纸夹在测量爪间，游标尺的第2刻线与主尺刻线对齐，读数为0.2mm；依此类推，如果将10张这样的纸夹在测量爪间，游标尺与主尺刻线对齐的情况如图乙，读数为0.1mm．如图丙，如果将一个小钢球夹在测量爪间，则这个小钢球的直径为 ___________毫米．
【结论归纳】(3)用毫米刻度尺测量长度时，只能准确地读到毫米，而用本题中的游标卡尺测量时，就能准确地读到 ___________毫米，这个数值叫做游标卡尺的精确度．如果用表示待测物体的长度，用表示主尺的整毫米数，表示与主尺刻线对齐的游标尺上的刻线序数，表示游标卡尺的精确度，则待测物体的长度表达式可归纳为：___________．
23．（2021·河北石家庄·统考二模）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
24．（2022·山东青岛·校考二模）有一天，小强遇到一个很有意思的问题，如图，边长是的大正三角形图中一共有多少个等边三角形？为了解决这个问题，小强很是费了一番脑筋，最后，他决定从最简单的图形开始探究．
在边长为的图中，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有个，倒立的正三角形有个．
在边长为的图中，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有个；倒立的边长为的正三角形有个．
(1)在边长为的图中，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有______个，正立的边长为的正三角形有______个，______；倒立的边长为的正三角形有个，倒立的边长为的正三角形有个．
(2)在边长为的图中，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有______个，正立的边长为的正三角形有______个，______；倒立的边长为的正三角形有______个，倒立的边长为的正三角形有______个；
(3)那么小强开始遇到的问题，可以解决了，如图边长是的大正三角形中，一共有______个等边三角形．
(4)解决问题后的小强异常兴奋，再接再厉，又解决了另一个很有挑战的问题：在如图所示的图中，一共有______个等边三角形．
限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与dB．b与dC．c与dD．a与c
2．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川宜宾·中考真题）2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（ ）（单位：年）
A．B．C．D．
4．（2022·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3B．2C．1D．0
6．（2022·湖北武汉·中考真题）在1，－2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1B．－2C．0D．
7．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
8．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为( )
①；②；③高斯函数中，当时，x的取值范围是；
④函数中，当时，．
A．0B．1C．2D．3
9．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
12．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
16．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
17．（2022·湖南永州·中考真题）请写出一个比大且比10小的无理数：______．
18．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
19．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
20．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
21．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
22．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为_____．
23．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
24．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
25．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算:
（2）因式分解：
26．（2022·四川内江·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
在各地中考中，数与式部分主要考查实数及其相关运算、二次根式、整式运算与因式分解、分式及其运算；分值设置在10分左右，整体来看试题难度不大，属于中考中的基础题，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现；注意整式运算与因式分解、分式部分时常出现背景新颖的试题，完全平方公式的灵活应用是本专题中的难点，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
命题热点1：实数及其运算
1）实数的相关概念：考查科学记数法、正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴、实数的分类和大小比较等，该部分的题目整体较为简单，只要认真审题，几乎不易丢分。
2）实数的相关运算：考查实数的混合运算、零次幂、负整数指数幂、二次根式等，这类问题切记符号的变化要正确。
命题热点2：因为分解
主要在选填题中考查，考查形式较为单一，切记因式分解必须分解彻底。
因式分解的步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法），四分组（分组分解法）；
命题热点3：二次根式与分式及其运算：
1）二次根式和分式有意义：当两者结合考查时，不仅被开方数要大于等于0，分式的分母也要不等于0。
2）二次根式与分式的运算：二次根式在化简求值方面，计算时根据二次根式运算性质正确计算即可；分式的运算也多以化简求值题型为主，特别要注意求值问题需要选择数据时，一定要多加小心（不可选择分母为0的数据计算）。
命题热点4：乘法公式（重点：完全平方公式）
乘法公式中完全平方公式是整个数与式中的考查难点和重点，完全平方公式主要考查：完全平方公式含参、知二求二、配方求字母的值和代数式的最值等。
限时检测1：最新各地模拟试题（60分钟）
1．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·重庆璧山·统考一模）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与互为“同心式”，则的值为1；
（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·河北邯郸·校考三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
4．（2022·内蒙古包头·三模）下列命题正确的是（ ）
A．与是同类项，则
B．边长相等的正三角形和正四边形的外接圆半径之比为
C．、是整数，若，，则
D．的算数平方根是3
5．（2022·广东云浮·校联考三模）已知，，则（ ）
A．1B．2C．8D．15
6．（2023·广东佛山·校考一模）以下式子和的值相同的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·浙江丽水·模拟预测）“小马”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目选项是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．2C．D．4
9．（2022·浙江金华·一模）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（ ）
A．（1）与（2）的周长之差B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差D．长方形的周长
10．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；
乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；
丁：已知，则；
戊：.
以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
11．（2022·广东江门·校考一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果，则．例如，那么___________．
12．（2022·河南郑州·校考模拟预测）已知m为正整数，且，那么m的值等于___ ．
13．（2022·河北沧州·统考二模）2021年10月25日，石家庄市太平河南岸景观带绿道实现贯通，道路贯通后整个太平河形成了南北两岸总面积356.5万平方米的绿色景观带．
（1）数据“356.5万”可以用科学记数法表示为______；（2）嘉嘉和同学相约在南岸（直线b）顺河游玩，北岸（直线a）一个造型别致的亭子A吸引了他们的目光，此时亭子在他们北偏西方向上，已知a与b是平行的，那么嘉嘉他们的位置可能是点M，P，Q中的______点．
14．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题.小红想顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络.那么她输入的密码应该是___.
15．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟预测）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出第六个“品”字形中a的值为___________，c的值为___________．
16．（2022·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
17．（2022·山东滨州·模拟预测）如果代数式的值为，那么代数式的值为___________．
18．（2021·四川乐山·统考二模）已知：，则________．
19．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）对正整数n，记，若，则M的正因数中共有完全立方数为 _____个．
20．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
21．（2023·陕西西安·校考一模）先化简，再求值：，其中
解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来
22．（2022·山东青岛·校考二模）【问题提出】如何对物体的长度进行更精确的测量？青岛二十六中数学组为同学们提供了一种思路，使用专业工具“游标卡尺”对数据进行更精确的测量．
【工具介绍】①是主尺（最小刻度是毫米）；②是游标尺个等分刻度）．它是套在主尺上可移动的部件；③是测量爪．移动游标尺，把被测物体夹在两测量爪之间，两爪之间的距离等于被测物体的长度．
【问题解决】(1)图甲中，当测量爪对齐时，游标尺上的0刻线与主尺上的0刻线对齐，游标尺的第10刻线与主尺上刻线对齐，其它刻线都与主尺上的刻线不对齐，则游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少 ___________毫米．
(2)如果将1张厚度为0.1mm的纸夹在测量爪间，游标尺的第1刻线与主尺刻线对齐，读数为0.1mm；如果将2张这样的纸夹在测量爪间，游标尺的第2刻线与主尺刻线对齐，读数为0.2mm；依此类推，如果将10张这样的纸夹在测量爪间，游标尺与主尺刻线对齐的情况如图乙，读数为0.1mm．如图丙，如果将一个小钢球夹在测量爪间，则这个小钢球的直径为 ___________毫米．
【结论归纳】(3)用毫米刻度尺测量长度时，只能准确地读到毫米，而用本题中的游标卡尺测量时，就能准确地读到 ___________毫米，这个数值叫做游标卡尺的精确度．如果用表示待测物体的长度，用表示主尺的整毫米数，表示与主尺刻线对齐的游标尺上的刻线序数，表示游标卡尺的精确度，则待测物体的长度表达式可归纳为：___________．
23．（2021·河北石家庄·统考二模）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
24．（2022·山东青岛·校考二模）有一天，小强遇到一个很有意思的问题，如图，边长是的大正三角形图中一共有多少个等边三角形？为了解决这个问题，小强很是费了一番脑筋，最后，他决定从最简单的图形开始探究．
在边长为的图中，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有个，倒立的正三角形有个．
在边长为的图中，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有个；倒立的边长为的正三角形有个．
(1)在边长为的图中，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有______个，正立的边长为的正三角形有______个，______；倒立的边长为的正三角形有个，倒立的边长为的正三角形有个．
(2)在边长为的图中，正立的边长为的正三角形有个，正立的边长为的正三角形有______个，正立的边长为的正三角形有______个，______；倒立的边长为的正三角形有______个，倒立的边长为的正三角形有______个；
(3)那么小强开始遇到的问题，可以解决了，如图边长是的大正三角形中，一共有______个等边三角形．
(4)解决问题后的小强异常兴奋，再接再厉，又解决了另一个很有挑战的问题：在如图所示的图中，一共有______个等边三角形．
限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与dB．b与dC．c与dD．a与c
2．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川宜宾·中考真题）2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（ ）（单位：年）
A．B．C．D．
4．（2022·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3B．2C．1D．0
6．（2022·湖北武汉·中考真题）在1，－2，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．1B．－2C．0D．
7．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
8．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为( )
①；②；③高斯函数中，当时，x的取值范围是；
④函数中，当时，．
A．0B．1C．2D．3
9．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
12．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
16．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
17．（2022·湖南永州·中考真题）请写出一个比大且比10小的无理数：______．
18．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
19．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
20．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
21．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
22．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为_____．
23．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
24．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
25．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算:
（2）因式分解：
26．（2022·四川内江·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
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