热点07 相似三角形-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

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热点07.相似三角形

相似三角形在各地中考数学中不管是在选择题、填空题、解答题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途径。但是也有性质与判定的常规考查，相似三角的考查难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。相似三角形的考查热点有：平行线分线段成比例的基本性质、相似三角形的性质、判定以及其综合应用。分值在15分左右，为避免丢分，应扎实掌握，灵活应用。

命题热点1、相似三角形的性质
1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
命题热点2、相似三角形的判定
判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角用判定（1）或再找夹边成比例用判定（2）；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
命题热点3、位似图形
找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
命题热点4、相似三角形的应用
相似三角形的应用多与实际生活结合，考查树或楼的高度、物体的某些边的长度等。此时通常需要自己提炼出应用的相似模型，并根据需要添加辅助线等，个别时候还会要求结果符合一定的要求，需要特点别注意。当相似三角形与函数结合考查时，通常为压轴题，需要同时注意相似三角形与函数各自的性质的融合。
命题热点5、相似三角形的基本模型
近几年各地中考也常考查相似里的几何模型，如：手拉手模型、K型图模型、A字图与8字图模型、母子三角形模型等。

限时检测1：最新各地模拟试题（60分钟）
1．（2022·贵州遵义·模拟预测）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（    ）

A．位似图形 B．相似三角形的判定 C．旋转 D．平行线的性质
【答案】C
【分析】根据位似图形，相似三角形的判定，旋转的概念，平行线的性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：两棵树是相似图形，而且对应点的连线相交一点，对应边互相平行，
这两个图形是位似图形，
本题蕴含的初中数学知识有位似图形，相似三角形的判定，平行线的性质，故选C．
【点睛】本题考查了位似图形，相似三角形的判定，旋转的概念，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
2．（2023·广东深圳·校考一模）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵镜子垂直于地面，∴入射角等于反射角，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，解得，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确找出两个相似三角形是解题关键．
3．（2023·广东深圳·校考一模）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于）．已知cm，则AB约是（    ）

A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm
【答案】B
【分析】根据题意列出比例式即可解答．
【详解】解：由题意可得，，解得，故选：B．
【点睛】本题考查了比例问题，解题关键是根据题意正确列出比例式．
4．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（    ）

A．2 B．1 C．0.5 D．1.5
【答案】B
【分析】由三等分点的定义与平行线分线段成比例定理得出，，，则，是的中位线，然后再证，可得=，解得，则．
【详解】解：∵D、E为边的三等分点，，
∴，，，
∴，是的中位线，∴，∵，∴，
∴，即，解得：，∴．
【点睛】本题主要考查了三等分点的定义、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
5．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由是的重心得到，和是以点为位似中心的位似图形，得到∽，，推出∽，得到，同理可得，由此可解．
【详解】解：点是的重心，，，
和是以点为位似中心的位似图形，
∽，，∽，
，同理可得，
与的面积之比为，故选：C．
【点睛】本题考查位似图形，三角形的重心，相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6．（2023·陕西西安·一模）如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，则（    ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用三角形的外角性质证明，再证明，再利用相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】解：，，
，，
又，，，
等边中，，设，
，，，；故选：D．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解答此题的关键．
7．（2022·江西吉安·统考一模）某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且，已知，那么该正五边形的周长为（    ）

A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
【答案】C
【分析】证明BC=CD=AD=6.18（cm），可得结论．
【详解】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，∴，
∵AB=AC=10cm，∴AD=6.18（cm），∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，
∴BC=CD=AD=6.18（cm），∴五边形的周长为6.18×5=30.90（cm），故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质，黄金分割等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
8．（2022·浙江宁波·校考一模）如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且：：，：：，连结交于，连结，则面积的最大值是（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，过点作，交于点，则，，列比例式，结合已知条件可求解，，再利用角平分线的定义可求解的长，根据当时，最大，即的面积最大，结合三角形的面积公式计算可求解．
【详解】解：过点作于点，过点作，交于点，

，， ，：：，
，， ，， ，
， ，，即，
平分交于， ，，
， ， ，
当时，最大，即的面积最大，
的最大值为： ，故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，确定的位置是解题关键．
9．（2023·广东佛山·校考一模）如图，和都是等边三角形，点M是的外心，那么的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点D，连接，根据是等边三角形可知，设，则，利用锐角三角函数的定义用表示出的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，延长交于点D，连接，

∵是等边三角形，点M是的外心，
∴，设，则，
∴，∴，
∵和都是等边三角形，∴，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2022·黑龙江大庆·统考二模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，解得CD=，同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，故选：A.

【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。

11．（2023·广东深圳·校考一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______．

【答案】2
【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】过点作于，交于，∵，∴，故答案为：2．

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12．（2023·陕西延安·统考一模）数学中，把这个比例称为黄金分割比.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为________.

【答案】
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．（2023·陕西西安·校考一模）如图，在四边形中，，，，点E，F分别是边的三等分点，，，连接，若四边形的面积为，则的面积是___．

【答案】6
【分析】如图所示，连接，过点D作交延长线于G，证明是等腰直角三角形，求出，则，进一步得到，证明，求出，再由，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，过点D作交延长线于G，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，
∵四边形的面积为，∴，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，故答案为：6．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）设是四边形的对角线、的交点，若，且，，，，则______．

【答案】
【分析】过点O作，交于E，先证明，得到，即，求得，再证明，得到，即，求得，进而求得，最后根据，得代入、值即可求解．
【详解】解：如图，过点O作，交于E，

，，，
，
∵，，∵，，
，即，，
，，，即，
，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2022·四川乐山·统考二模）如图，点是等腰的斜边的中点，，，连结，以为直角边，作等腰，其中，连结，则四边形面积的最大值是____．

【答案】
【分析】如图，根据，可知：当取得最大值时，最大，过点作于点，当最大时，取得最大值，即可得解．
【详解】解：如图，将点B绕点O逆时针旋转至点G，连接，

则：是等腰直角三角形，∴，，
∵是等腰直角三角形，∴，，
∴，，∴，∴，∵，∴，  
∴当点E在以O为圆心，2为半径长的⊙O上运动时，点F在以G为圆心，为半径长的⊙G上运动．
∵是等腰直角三角形，，∴，
∵O是的中点，∴，∴．
过点作于点，∵ ，
∴当三点共线时，有最大值，最大值为，
∵， ，
∴当取得最大值时，最大，
当最大时，，
∴最大为： 故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．本题的综合较强，难度较大．
16．（2023·广东佛山·石门中学校考一模）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 _____．

【答案】
【分析】方法一、延长交于G，延长，交于点M，根据折叠的性质以及平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及等角对等边即可得出答案；
延长和相交于点H，根据折叠的性质及等边对等角得出，再根据等角的余角相等以及等角对等边得出，最后根据平行线的性质及线段的和差即可得出答案．
【详解】解：方法一、如图，延长交于G，延长，交于点M，

∵将沿折叠，得到，∴，，，∴，
又∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，
方法二、延长和相交于点H，∵折叠，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
17．（2022·吉林·吉林省实验校考一模）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容．
例3已知：如图23.3.9，在中，，．
求证：．

        
(1)[问题解决]这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程．
(2)[拓展探究]如图②，在中，D是边AB的四等分点且靠近点B，过D分别作，与边BC、AC分别相交于点E、F，若，．则四边形DECF的周长是______；
(3)如图③，在中，P是边BC上的一点，且，连结AP，取AP的中点M，连结BM并延长交AC于点N，若的面积为3，则的面积为______．
【答案】(1)过程见详解 (2) (3)12
【分析】（1）根据，，行得到，，，即可得证结论；
（2）D是边AB的四等分点且靠近点B，即有，再结合（1）中结论可求出EC、FC长度，即可求解；（3）过P点作PD平行与AC，交BN于点D，利用AM=MP，得到以及，则有，DM=MN，再根据BP:PC=3:2，得，得到，即有，即可求解．
(1)证明：∵，，∴，，，
∴∴，得证．
(2)如图所示，∵，，
∴四边形DECF是平行四边形，即其周长，
∴根据（1）中的结论有：，
∴，，

又∵D点是AB的四等分点，即，∴，
∴，，∴，
已知AC=6，BC=9，∴，，
∴平行四边形DECF的周长；
(3)如图，过P点作PD平行与AC，交BN于点D，
∵，M为AP中点，∴，，AM=PM，
∴，∴，DM=MN，
∵，∴，
又∵BP:PC=3:2，
∴，
∴，∴，∴，∴，
又由AM=PM，可知，∴．
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了平行线的性质、平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练运用平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．
18．（2023·上海长宁·统考一模）已知：在中，，，点、分别在射线、射线上，且满足．

(1)当点在线段上时，如图1．①如果，求的长：
②设、两点的距离为，，求关于的函数关系式，并写出定义城．
(2)当时，求的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）
【答案】(1)①为4或12；②(2)或
【分析】（1）①设，，证明，再根据相似三角形的性质，即可求解；②过点A作于点G，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得，，，再由勾股定理，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在延长线上时，结合相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：①设，，∵，∴，
∵，，
∴，∴，∴，
∴，∴，，∴为4或12
②过点A作于点G，

∵，，∴，∴，，
∵，∴
（2）解：当点在线段上时，此时，

由（1）得：，∴，
∵，∴；
当点在延长线上时，，如图，

∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，
，∵，∴；
综上所述，的面积或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，列函数关系式等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
19．（2023·湖北武汉·校考一模）已知是等边三角形，是直线上的一点．

(1)问题背景：如图，点，分别在边，上，且，与交于点，求证：；
(2)点，分别在边，上，与交于点，且．
①尝试运用：如图，点在边上，且，求的值；
②类比拓展：如图3，点在的延长线上，且，直接写出的值．
【答案】(1)见解析 (2)①；②或
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，得出，根据三角形外角的性质即可得证；
（2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，证明，,证明，设，，则，证明得出，即可求解；
②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，证明，，设，，则，证明，，根据相似三角形的性质列出比例式，继而即可求解．
【详解】（1）证明：是等边三角形，，，
，，，
；
（2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，

由（1）可知，，，    
∴，,∴，，∴ ，
∵，∴，设，，则，
， ，即， ，
，，，，
解得或(舍)，∴；
②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，
由（1）可知，，，，
∴，，设，，则，
∵，∴，∵，，，
∴， ∴
∴，解得或， ∴或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造相似三角形是解题的关键．
20．（2023·陕西西安·高新一中校考二模）问题探究：

(1)如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________；(2)如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大．
问题解决：(3)某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）
【答案】(1)(2)当时，矩形面积最大(3)绿化改造所需费用至少为元
【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解；
（2）设的边上的高为h，根据题意可得，则有，然后可得，进而把矩形的面积表示出来，最后利用二次函数的性质可进行求解；
（3）由题意易得，，则设，则，然后可得，，则可得，要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形的面积最大，最后问题可求解．
【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，
根据两个三角形相似，则这两个相似三角形的高之比等于相似比，所以与的高之比为；
故答案为；
（2）解：设的边上的高为h，
∵，，∴，∴，
∵，∴的边上的高为，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，即，∴，
∴，
∴当时，矩形面积最大；
（3）解：如图所示：

∵四边形是矩形，∴，，
∵，∴，∴，，
设，则，∴，
∵，∴，∵，∴当点Q与点A重合时，则，
∴，
要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形的面积最大，
∴当时，矩形的面积最大，最大值为，如图，
∴，过点D作于点H，
∵，∴，∵，
∴，∴，
∴四边形的面积为，
∴种植花卉的面积为，
∴所需费用最少为（元）；
答：绿化改造所需费用至少为元．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及二次函数的应用是解题的关键．
21．（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．

(1)将先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的．(2)请以O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（__________，__________）；点的坐标为（__________，__________）．
【答案】(1)见解析 (2)图见解析，2，4，6，2
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
； ，
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为；点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了位似变换、平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（2022·安徽滁州·校考一模）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．

(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
(2)求路灯灯泡的垂直高度；
(3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 ．（直接用的代数式表示）
【答案】(1)见解析 (2)； (3)．
【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；
（2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中，由它们对应成比例可以求出；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．
【详解】（1）解：如图

（2），，，，，
，，，m．
（3）同理，，设长为，则，
解得：，即． 同理，解得，
，可得，故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．
23．（2020·山西·校联考一模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．
过点作交于点，则，（依据），
∴，
∴，即．

情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指：　　；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　
【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 (2)证明过程见详解 (3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理即可解决问题．
【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）证明：如图2中，作交于，

则有，∴，
∴，则，变形得，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
（3）解：∵，，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2022·浙江台州·统考一模）如图，为等边三角形，D为边上一动点，在上方作等边交于点F，连结．(1)求证：；(2)①当D为中点时，_______；
②当时，求的值；（用含k的式子表示）
(3)过点D作于H，交于G，若，且点G为中点，求k的值．

【答案】(1)见解析 (2)①1  ② (3)
【分析】（1）根据和均为等边三角形，可得，，，则有，即可得，继而得到，即证得；
（2）①D为AC中点，则有BD⊥AC，∠ABD=30°，则可得∠BFD=90°， BF⊥ED，在等边△BED中即有EF=FD，问题得解；②由（1）可知：，过D作交于，即易得为等边三角形，则有，又由，，可得：，根据，可得；（3）作交于P，交于Q，根据为等边三角形，得∠DQC=60°，即∠DQB=120°，再由G为DH中点，结合可得：，继而有，，∠GAD=∠GPH=60°，则有∠HPB=∠BQD=120°，在（1）中已证∠EBA=∠DBC，即证得，由此得，在等边△BED中，DH⊥BE，则有2BH=BE=BD，即可求出k值．
(1)证明：∵和均为等边三角形，∴，，，
∴，
∴，∴，∴；
(2)①在等边△ABC中，D为AC中点，则有BD⊥AC，∴∠ABD=∠ADC-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠BFD=180°-∠ABD-∠BDF=180°-60°-30°=90°，∴BF⊥ED，
∴在等边△BED中有：EF=FD，∴；
②由（1）可知：，过D作交于，即易得为等边三角形，

∴，又由，（1）中已证明，
可得：，∵，∴；
(3)如图，作交于P，交于Q，
易得为等边三角形，∴∠DQC=60°，即∠DQB=120°，
∵G为DH中点，∴DG=GH，结合可得：，
∴，，∠GAD=∠GPH=60°，∴∠HPB=180°-∠GPH=120°，
∴∠HPB=∠BQD=120°，在（1）中已证∠EBA=∠DBC，
∴，∴，在等边△BED中，DH⊥BE，
∴2BH=BE=BD，∴，即：．
【点睛】本题是一道三角形的综合题，考查了等边三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性、相似三角形的判定与性质，构筑合理的辅助线，灵活运用全等三角形的判定与性、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
25．（2022·四川达州·统考一模）【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在中，，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的延长线于点F，当时，试说明：；
【方法探究】社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到…，
（1）请接着完成剩下的说理过程：
【方法运用】（2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为______（用含k的式子表示，不需要证明）；（3）如图2，若，，，，求出BD的长；
【拓展提升】（4）如图3，若，连接AE，已知，，，且，则边EF的长＝______．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）8；（4）．
【分析】（1）当BD：DE=1时，DE=BD，再根据∠BDA=∠EDM，BD=ED，可证△ABD≌△MED，得出AB=ME，又∠BAD=∠DAC，则∠FMD=∠DAC，AF= MF，即可证出结论；
（2）当BD：DE=k时，同(1)可得，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）根据(2)的结论代入数值计算即可；（4）延长AD、EF交点为G，由(1) (2)可知GE= 18，过点A作AH⊥GE，在中，，则，设，则，，在中，由勾股定理可得，解得，当时，在中，，解得，，成立；当时，因，所以不成立.
【详解】（1）证明：当时，，∵，∴，
在与中，，∴，∴，
又∵AD平分，∴，∴，
∴，∴；
（2）；理由：当时，∵，∴，
又∵，∴，∴，即：，
又∵AD平分，∴，∴，∴，∴；
（3）由（2）得，，∴，∴，
∵，∴，设，则，
∴，∴，∴；
（4）如图，延长AD、EF交点为G，

由(1) (2)可知：，∴GE=18，过点A作AH⊥GE，
在中，，∴，
设，则，，
在中，由勾股定理可得，解得，
当时，在中，，解得，，成立；
当时，同理可得：，
∵，∴不成立.综上所述，．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是（4）中要进行分类求解.
26．（2022·浙江宁波·一模）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形．

(1)已知是和谐三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长；
(2)在中，，D为边上一点，，连接，若为和谐三角形，求的长；
(3)如图，在等腰中，D为的中点，且，E为上一点，满足，连接．求证：为和谐三角形．
【答案】(1)2或5或；(2)的长为6；(3)见解析．
【分析】（1）先确定出1＜AC＜7，再分三种情况，利用和谐三角形的定义求解即可；
（2）先求出2＜AD＜6，再分三种情况：①当AB＋AD＝2BD时，AD＝2BD−AB＝0，不符合题意；②当AB＋BD＝2AD时，AD＝（AB＋BD）＝3，过点A作AF⊥BC于F，利用勾股定理求出DF，然后可求AC；③当BD＋AD＝2AB时，AD＝2AB−BD＝2×4−2＝6，不符合题意；
（3）设AE＝6x，则EB＝4x，进而表示出AB＝C＝10x，AD＝CD＝5x，再判断出，得出比例式求出BD＝BC＝，过点A作AM⊥BC于M，则BM＝CM＝BC＝，进而求出AM＝，过点D作DG⊥BC于G，进而求出DG＝，MG＝，BG＝，过点D作DH⊥AB于H，证明，可得，求出AH＝，DH＝，再用勾股定理求出DE，即可得出结论．
（1）解：根据三角形的三边关系得，1＜AC＜7，
∵是和谐三角形，∴①当AC＋BC＝2AB时，AC＝2AB−BC＝2×3−4＝2，
②当AC＋AB＝2BC时，AC＝2BC−AB＝2×4−3＝5，
③当AB＋BC＝2AC时，AC＝（AB＋BC）＝（3＋4）＝，
即满足条件的AC的长为：2或5或；
（2）解：在中，AB＝4，BC＝8，∴4＜AC＜12，
在中，CD＝BC−BD＝6，∵AB＝4，BD＝2，根据三角形的三边关系得，2＜AD＜6，
∵为和谐三角形，∴①当AB＋AD＝2BD时，AD＝2BD−AB＝0，不符合题意；
②当AB＋BD＝2AD时，AD＝（AB＋BD）＝（4＋2）＝3，如图，过点A作AF⊥BC于F，

在Rt中，，
在Rt中，，
∴，∴DF＝，∴，CF＝6−＝，
在Rt中，根据勾股定理得AC＝；
③当BD＋AD＝2AB时，AD＝2AB−BD＝2×4−2＝6，不符合题意；综上，的长为6；
（3）证明：∵AE：EB＝3：2，∴设AE＝6x，则EB＝4x，∴AB＝AE＋EB＝10x，
∵AB＝AC，∴AC＝10x，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝5x，
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴，∴，
∴，∴BD＝BC＝，如图，过点A作AM⊥BC于M，
则BM＝CM＝BC＝，根据勾股定理得，AM＝，
过点D作DG⊥BC于G，∴DGAM，∴，
∵AD＝CD，∴，∴DG＝AM＝，MG＝CM＝，
∴BG＝BM＋MG＝，过点D作DH⊥AB于H，∴∠AHD＝90°＝∠BGD，
∵∠A＝∠DBC，∴，∴，∴，
∴AH＝，DH＝，∴EH＝AE−AH＝，
在Rt中，根据勾股定理得，DE＝，
∵AE＝6x，AD＝5x，∴AE＋DE＝2AD，∴为和谐三角形．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及二次根式的运算等知识，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．



限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2022·山西·中考真题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（       ）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
2．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，
∵，∴，∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
3．（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（       ）

A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：，
又四边形的面积是2，∴四边形的面积为18，故选：D．
【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．
4．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．的最小值为
【答案】D
【分析】先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG△CEB得 ，即可判断C项答案正确，由，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判断D项错误．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，
∴ ，∴，∵，∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
   
∵△ABC是等边三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，∴ 解得AG=，故D项错误，故应选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5．（2022·浙江绍兴·中考真题）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（       ）

A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：当△DFE∽△ECB时，如图，

∴，设DF=x，CE=y，∴，解得：，
∴，故B选项不符合题意；
∴，故选项D不符合题意；
如图，当△DCF∽△FEB时，∴，设FC=m，FD=n，
∴，解得：，∴FD=10，故选项C不符合题意；
，故选项A符合题意；故选：A
【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
6．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在和中，，点A在边的中点上，若，，连结，则的长为（       ）

A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，∠BED=45°，进而得到，，，再证得△BEF∽△ABG，可得，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，

在中，∠BDE=90°，，∴，∠BED=45°，
∵点A在边的中点上，∴AD=AE=1，∴，∴，
∵∠BED=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴，∴，
∵∠ABC=∠F=90°，∴EF∥AB，∴∠BEF=∠ABG，∴△BEF∽△ABG，
∴，即，解得：，∴，
∴．故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
7．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（       ）

A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
【答案】A
【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵与位似∴
∵与的位似比是1:2∴与的相似比是1:2
∴与的周长比是1:2故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质．
8．（2022·浙江金华·中考真题）如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为与相交于点G，的延长线过点C．若，则的值为（       ）


A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证，得出，进而得出y=3x，则AE=4x，AD=8x，过点E作EH⊥BC于点H，根据勾股定理得出EH=x，最后求出的值．
【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，
又四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，∴AB=EH，ED=CH，
∵，∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，
由题意，得，又为公共角，∴，
∴，则，整理，得，解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，在Rt△EGH中EH2+HG2=EG2，则EH2+x2=(3x)2，
解得EH=x， EH=-x(舍)，∴AB=x，∴．故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键．
9．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知④正确．
【详解】解：∵旋转得到，∴，
∵为正方形，，，在同一直线上，
∴，∴，故①正确；
∵旋转得到，∴，，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，故②正确；设正方形边长为a，
∵，，∴，
∵，∴，∴，即，
∵是等腰直角三角形，∴，∵，，
∴，∴，即，解得：，
∵，∴，故③正确；过点E作交FD于点M，

∴，∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，
∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
10．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（       ）

A． B．是直角三角形 C． D．
【答案】D
【分析】由菱形的性质可知，，由两直线平行，同位角相等可以推出，再证明，得出，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出．现有条件不足以证明．
【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，
∴，，∴，∵，∴，
∴是直角三角形，故B选项正确；∵，，
∴，∴，∴，，故A选项正确；
∴BC为斜边上的中线，∴，故C选项正确；
现有条件不足以证明，故D选项错误；故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出，是解题的关键．
11．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．

【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
12．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．

【答案】##
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，∴．
∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
13．（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．

【答案】①②③
【分析】依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明， 可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时 .
【详解】∵绕点A沿顺时针方向旋转角度得到
∴，∴
即∴
∵得：（SAS）故①对
∵和是顶角相等的等腰三角形∴故②对
∴即AD最小时最小当时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点 故③对 故答案为：①②③
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .
14．（2022·湖南常德·中考真题）如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是________．

【答案】12
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、CN之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．
【详解】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，

，，，，，
， 令，则，，
，，，
，设，
，，，求出,
，故答案为：12．
【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
15．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．

【答案】##
【分析】据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．
【详解】解：∵点、分别是边、的中点，连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴
∴∴ 当点E与点A重合时，则NF=，
∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴是等腰直角三角形，∴
∵BP⊥AF，∴ 由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO，∴∠PON=90°，
又 ∴，
∴，∴的长为=故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键．
16．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．

【答案】     是     ##
【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，   
∴△ACG≌△CFD， ∴∠CAG=∠FCD，∵∠ACE+∠FCD=90°，∴∠ACE+∠CAG=90°，
∴∠CEA=90°，∴AB与CD是垂直的，故答案为：是；
（2）AB=2，∵AC∥BD，∴△AEC∽△BED，
∴，即，∴，∴AE=BE=．故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ

【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
【解析】(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE=∠BAF；
(2)证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？

解：相等．理由如下：
设与之间的距离为，则，．
∴．
【探究】
(1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．

证明：∵


(2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．

证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ．
∴ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ，
∴．
(3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，由此即可得证；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；
（3）过点作于点，过点作于点，先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案．
(1)证明：，，．
(2)证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，

．．．
由【探究】（1）可知，．
(3)解：过点作于点，过点作于点，则，

，，，
点所对应的刻度值分别为5，，0，
，，，
又，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
19．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：

(1)当时，求t的值；(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，
【分析】（1）利用得，即，进而求解；
（2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，，求得，再证得，得出，根据即可求出表达式；（3）当时，易证，得出，则，进而求出t值．
(1)解：在中，由勾股定理得，
∵绕点A按逆时针方向旋转得到 ∴
∵∴
又∴∴∴∴
答：当时，t的值为．

(2)解：分别过点C，P作，垂足分别为M，N
∵∴
又∴∴∴∴
∵∴∴∴∴
∴

∴
∴
(3)解：假设存在某一时刻t，使∵∴
∵∴又∴
∴∴∴∴存在时刻，使．
【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题．
20．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)①；②
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；
(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，
；
(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ；
②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
21．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则 ；
(3)当AB=m , BC=n时． ．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先证明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（2）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（3）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，用含m、n的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（4）过M作MH⊥AB于H，根据折叠性质得∠C=∠MPN，根据角平分线证明出∠C=∠PMH，设CM=PM=x，HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用△AHM∽△ABC，得到，代入解方程即可．
(1)
解：，理由如下：
∵AB=BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵E、F为BC，AB中点，
∴BE=BF，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∵H为DF中点，G为AD中点，
∴GH=，
∴．
(2)
解：，
连接AF，如图所示，


由题意知，BF==1，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=2:3，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
(3)
解：，
连接AF，如图所示，


由题意知，BF==，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=m：n，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
(4)
解：过M作MH⊥AB于H，如图所示，


由折叠知，CM=PM，∠C=∠MPN，
∵PM平分∠APN，
∴∠APM=∠MPN，
∴∠C=∠APM，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=，
设CM=PM=x，HM=y，
由知，，
即，，   
∵HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∴，
即，，
∴，
解得：x=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键．
22．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．

【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵，
∴△OEF∽△OAM，
∴，
设，则，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴，
∴△OGF∽△OHN，
∴，
∵OG=2GH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）可知．


【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
23．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．

【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2）
【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可；
②由，可得，由①同理可得，计算；
（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解．
【详解】（1）①∵CD平分，∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
∴．∴．∴．∴．
②∵，∴．由①可得，
∴．∴．
∴是定值，定值为1．
（2）∵，∴．
∵，∴．又∵，∴．
设，则．∵CD平分，∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．∴．
∵，∴．∴．
∴．∴．如图，过点D作于H．


∵，∴．
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．

(1)你赞同他的作法吗？请说明理由．(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造DPE，使得DPE∽CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
【答案】(1)赞同，理由见解析，(2)①，②点N是线段ME的“趣点”，理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 再利用 从而可得结论；
（2）①由题意可得： 再求解 证明 从而可得答案；②先证明可得 再证明 从而可得结论．
(1)证明：赞同，理由如下：
等腰直角三角形ABC，

∴点P为线段AB的“趣点”．
(2)①由题意可得：

DPE∽CPB，D，A重合，

②点N是线段ME的“趣点”，理由如下：当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），
而

同理可得：

点N是线段ME的“趣点”．
【点睛】本题考是等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，理解新定义的含义，掌握特殊的几何图形的性质是解本题的关键．