热点10 圆-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

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热点10 圆

各地中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为12分左右。预计2023年各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中考查三角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

命题热点1.圆中的角度计算
在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
命题热点2.圆中的长度计算
在圆中求长度时，常用垂径定理或解三角函数。前提是要有直角三角形，所有构造直角三角形是解题关键。
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
命题热点3.圆的相关计算
圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
命题热点4.圆的证明性问题
1.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
3.有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．
限时检测1：最新各地模拟试题（60分钟）
1．（2022·河北邯郸·三模）如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：

①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．
以上结论正确的是（　　）
A．②③ B．①③ C．② D．①
2．（2022·河北邯郸·统考二模）在一次海事活动中，所在区域是活动区域，其中弦与优弧所围成的区域是声呐需要探测的区域．现在A处安装一台声呐设备，其探测区域如图阴影所示，再在B处安装一台同型号声呐设备，恰好能完成所有区域的探测，如图2阴影所示．

如图3，现将声呐设备放置位置改为圆O上D、E、F点，设计三个方案：
①在D点放两台该型号的声呐设备；②在D点、E点分别放一台该型号的声呐设备
③在F点放两台该型号的声呐设备。若能完成所有区域的探测，则正确的方案是（    ）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②
3．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）

A．8 B． C． D．
4．（2023·浙江·校考二模）如图1，矩形ABCD中，点E， F分别在边AB， CD上且EF⊥AB，AE＝2EB．将一个量角器摆放在矩形中，使它的0°线MN与EF重合，半圆与BC相切，现将该量角器绕点F顺时针旋转（如图2所示），使得它的半圆与EF交于点P，过点M作GH⊥MF，分别交边AE，AD于G，H，若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
5．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．

【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（　　）

A．4 B．4.5 C． D．
7．（2023·福建·校考二模）如图，已知AB为⊙O的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是（　　）

A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90° C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°
8．（2022·重庆·重庆一中校考一模）如图，为⊙外一点，过点作⊙的切线、，与过圆心的直线交于、两点，点、为切点，线段交⊙于点．若，，，则的长度为（    ）

A． B． C． D．
9．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA与弦CD的延长线交于点P，已知PD=AB，下列结论：①若=+，则AB=CD；②若∠B=60°，则∠P=20°；③若∠P=30°，则=−1；④的值可能等于．其中正确的序号是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置A，B，C，D，E如图2所示，是它们的运行轨道，弧AC度数为120°，点B到点C和点A的距离相等，于M，AD交BE于N，交CE于H，连结CD，AE．已知一架飞机从M飞到N的直线距离为8千公里，则轨道的半径为______千公里．当时，则线段AE，CD的长度之和为______千公里．

11．（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）图1是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为40cm，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，，且A，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为______cm．扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲．如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为______．

12．（2022·上海杨浦·统考二模）新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于_________．
13．（2023·福建福州·统考一模）已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是_____．
14．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，内切于正方形中，与边相切的点分别为，对角线交于点，连接，则的值是______．

15．（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知，OA是⊙O的半径，延长AO至点B，使得OB=3OA=3，以B为直角顶点，作等腰直角△BMC，且满足点M始终在⊙O上（如图所示），连接OC，则OC的最大值为______．

16．（2022·广东东莞·校考二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母线长为 _____．

17．（2022·广东广州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于圆O，，，，AC，BD交于点G，点O是AC中点．延长AD，BC交于点E，点F在CE上，．则下列结论成立的是______（直接填写序号）．①直线DF是⊙O的切线；②是等腰三角形；③图中共有3个等腰三角形；④连接OE，则．

18．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为______；作弦于H，则CH的最大值为________．

19．（2022·北京大兴·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与有两个交点时，则称MN是的“双关联直线”，与有一个交点P时，则称MN是的“单关联直线”，AP是的“单关联线段”．(1)如图1，，当MN与y轴重合时，设MN与交于C，D两点．则MN是的“______关联直线”（填“双”或“单”）；的值为______；
(2)如图2，点A为直线上一动点，AP是的“单关联线段”．
①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．



20．（2023·陕西西安·校考二模）问题提出：
（1）如图①，已知线段，试在其上方确定一点C，使，且的面积最大，请画出符合条件的．
问题探究：（2）如图②，在矩形中，点E在边上，且，连接，若，求面积的最大值．
问题解决：（3）某市新建成一迎宾广场，园林部门准备在“三·八”节前，用少量资金对广场一角进行绿化美化改造，以提升城市形象．根据地形特点，准备设计一个由三条线段及一段组成的区域，并在其内部栽花种草进行美化．如图③所示，在以为直径的半圆上，圆心为O，米，为保证最佳观赏效果，要求的长为，已知栽花种草每平方米费用为50元（含所有花费），园林部门准备了2600元用于上述区域的绿化工作，请问是否可满足本次绿化美化改造最大费用的需求？（参考数据，）




21．（2022·上海奉贤·统考二模）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．



22．（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径和中心角有什么关系？
【问题探究】
如图①，是等边三角形，半径，是中心角，是内任意一点，到各边距离、、分别为，设的边长是，面积为．过点作．
∴，，，
∴，①
∵又可以表示②
联立①②得
∴
∴

【问题解决】
如图②，五边形是正五边形，半径，是中心角，是五边形内任意一点，到五边形各边距分别为、、、、，参照（1）的分析过程，探究的值与正五边形的半径及中心角的关系．
【性质应用】
（1）正六边形（半径是）内任意一点到各边距离之和_______．
（2）如图③，正边形（半径是）内任意一点到各边距离之和______．


23．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，星海湾大桥是大连壮观秀丽的景点之一，主桥面是水平且笔直的，此时一个高的人站在C点望该桥的主塔BF，此时测得点D关于点F的俯角为，关于点E的俯角为，已知主塔，为该桥的主缆，与线段交于的中点G．（参考数据：，，，，）

(1)请在图中作出关于所对应圆的圆心O并补全所对应的圆（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）；(2)若关于所对应圆的半径为R，求的长（用含有π，R的代数式表示）；
(3)求星海湾大桥两座主塔之间的距离（结果取整数）．



24．（2023·河北石家庄·校考一模）如图，在中，，，，点P是的中点．动点M沿边从点C开始，向点B以每秒1个单位长度的速度运动，当点M到达点B时停止运动，以点C为圆心，的长为半径作圆，与交于点N，过点N作，垂足为点Q．设运动的时间为t秒．
(1)当与相切时，求t的值；(2)用含t的代数式表示的长；(3)当与线段有交点时，直接写出线段所扫过的面积．

25．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知是的直径，点，点均在上，连接交于点，，．(1)若，求的长；(2)若记的面积为，的面积为，求的值．


26．（2023·广东·一模）如图所示，在⊙中，为直径，已知，，是 的切线，点H为上一动点（不与点A，M重合），直线交于点C．连接，过点B作于点D，延长交于点E．(1)求的长度．(2)若H为的中点，求证：．
(3)是否是一个定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（       ）

A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
2．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（       ）

A． B． C． D．2
3．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（       ）


A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
4．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（       ）

A． B．4 C．6 D．
5．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）

A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
6．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（       ）

A．射线一定过点O B．点O是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则 D．点O不是三条边的垂直平分线的交点
8．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
9．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（   ）

A． B．6 C． D．
10．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（       ）

A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
11．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

12．（2022·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是________（结果保留）

13．（2022·四川广元·中考真题）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 _____．

14．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．

15．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在廓形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______．

16．（2022·上海·）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为___．
17．（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．


18．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆的切线；(2)已知，，求长度及阴影部分面积．



19．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．







20．（2022·四川雅安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；(3)若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．






21．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是正方形，点A，点B在上，边的延长线交于点E，对角线的延长线交于点F，连接并延长至点G，使．
(1)求证：与相切；(2)若的半径为1，求的长．








22．（2022·河南·中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．



23．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，以为直径的与相切于点A，点C在左侧圆弧上，弦交于点D，连接．点A关于的对称点为E，直线交于点F，交于点G．
(1)求证：；(2)当点E在上，连接交于点P，若，求的值；
(3)当点E在线段上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长．