安徽省滁州市定远县育才学校2023届高三数学下学期第二次模拟试题（Word版附解析）

2023年高三第二次模拟试卷

数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数满足，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  数形结合是非常重要的数学思想，以函数为例，数是解析式，形是图象．现有函数，则它的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在三角形中三边上高的交点叫垂心，三条角平线的交点叫内心，三条中线的交点叫重心，三边的垂直平分线的交点叫外心已知点是所在平面内一点，且满足，则动点的轨迹必通过的(    )

A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心

6.  在、、三个地区爆发了流感，这三个地区、、分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人则下列叙述正确的是(    )

A. 这个人患流感的概率为
B. 此人选自地区且患流感的概率为
C. 如果此人患流感，此人选自地区的概率为
D. 如果从这三个地区共任意选取人，则平均患流感的人数为人

7.  设，动直线：过定点，动直线过定点，若直线与相交于点异于点，，则周长的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，若数列的前项和为，则使得成立的的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则下列说法中正确的有(    )

A. 侧棱与底面所成的角为
B. 侧面与底面所成角的正切值为
C. 正三棱锥外接球的表面积为
D. 正三棱锥内切球的半径为

10.  已知圆，直线，直线与圆交于两点，则下列说法正确的是(    )

A. 直线恒过定点 B. 的最小值为
C. 的取值范围为 D. 当最小时，其余弦值为

11.  已知函数，下列关于该函数结论正确的是(    )

A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是
C. 的最大值为 D. 是区间上的减函数

12.  定义：若对于定义域内任意，总存在正的常数，使得恒成立，则称函数为“距”增函数，以下判断正确的有(    )

A. 函数是“距”增函数
B. 函数是“距”增函数
C. 若函数是“距”增函数，则的取值范围是
D. 若函数是“距”增函数，则的取值范围是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  已知，则实数的值为          ．

14.  定义：记满足下列两个条件的有穷数列，，，为阶“期待数列”．

试写出一个阶“期待数列”          ；若等比数列是阶“期待数列”，则数列的公比是          ．

15.  已知双曲线，直线经过的左焦点，与交于，两点，且，其中为坐标原点．则离心率的取值范围是          ．

16.  若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知数列，满足．

求数列，的通项公式；

分别求数列，的前项和，．

18.  本小题分

的内角，，的对边分别为，且．

求角的大小；

求的面积的最大值．

19.  本小题分
如图，已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，且．
求证：平面；

20.  本小题分

抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少一般地，病人体内白细胞浓度低于个时需要使用升血药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血液中白细胞数量为了解病人的最终用药剂量数剂量和首次用药时的白细胞浓度单位：百个的关系，某校研究性学习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细胞浓度均分布在个的个病例，其首次用药时的白细胞浓度为单位：百个，最终用药剂量数为，得到数据，数据散点图如图所示他们观察发现，这些点大致分布在一条形折线由线段和组成附近，其中
所在直线是由Ⅰ、Ⅱ区的点得到的回归直线，方程为，其中，
所在直线是由Ⅱ、Ⅲ区的点得到的回归直线，方程为以下是他们在统计中得到的部分数据：

Ⅰ区：，，，

Ⅱ区：，，，．
 

根据上述数据求，的值结果保留两位小数

根据形折线估计，首次用药时白细胞浓度单位：个为多少时最终用药剂量最少结果保留整数

事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在个时，首次用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少请从统计学的角度分析的结论与实际情况产生差异的原因至少写出两点

参考数据：，，，，．

21.  本小题分

已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为，且．

求抛物线的方程；

过焦点作两条相互垂直的直线斜率均存在，分别与抛物线交于和四点，求四边形面积的最小值．

22.  本小题分

函数．

若存在单调递减区间，求实数的取值范围；

若有两个不同极值点，，求证：．

答案和解析

1. 【解析】 
，
 ．故选 ．

2. 【解析】由，得，的虚部为故选．

3. 【解析】依题意，，，，故．

4. 【解析】根据题意，，在区间上，，，则有，函数图像在轴上方，排除；
同理：在区间上，有，函数图像在轴下方，在区间上，有，函数图像在轴上方，排除；
因为，即，所以在时不是单调递减的，排除．故选D．

5. 【解析】如图所示：

设线段的中点为，则．
，
，
，即
，且平分．
因此动点的轨迹必通过的外心．故选D．

6. 【解析】记事件选取的这个人患了流感，
记事件此人来自地区，
记事件此人来自地区，
记事件此人来自地区，

则，且、、彼此互斥，

由题意可得，，，

，，，

A.由全概率公式可得A错误

B.，，选自地区且患流感的概率为B错误

C.由条件概率公式可得；C正确．

D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为，任意选取个人，患流感的人数设为，则∽，即D错误．

7. 【解析】直线：过定点，
直线：即，
可得过定点，
由于，
得与始终垂直，又是两条直线的交点，
，
．
由，可得，
那么，
即有，
当且仅当时，上式取得等号，
周长的最大值为．故选：．

8. 【解析】当时，，解得；
当时，，
即，
又，，，
，
即，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，即，
当时，，
当时，也成立，
故，
而，
当时，
，，
，
最大值为，
当时，
，，
，
最大值为，
当时，
，，
，
，
解得，
故使得成立的的最小值为．故本题选B．

9. 【解析】如图所示，为底面的中心，为中点，连接，，，，

则面，
设为正三棱锥外接球的球心，为正三棱锥内切球的球心，则，在上，
由题意可知，则，，，
．
因为面，所以为侧棱与底面所成的角，
，则，故正确；
因为，所以为侧面与底面所成角，
，故错误；
设正三棱锥外接球半径为，则在中，，
解得：，则外接球的表面积为，故正确；
设正三棱锥内切球的半径为，
因为 ，
所以，故正确．故选．

10. 【解析】对于由整理得，
所以直线过定点，故正确；
对于因为直线过定点，将定点代入圆，
所以定点在圆的内部，当直线，取得最小值，
而，
故，故正确；
对于直线过的定点，当时，最小，
此时，
所以在中，由余弦定理计算可得，故错误；
对于，
当，，三点共线时，最小值为，
当时，最大值为，则，故错误．故选．

11. 【解析】由，

对于，

，故A不正确；

对于，

，故B正确；

对于，，所以的最大值为，

当时，，取得最大值，

所以的最大值为，故C不正确；

对于，根据符合函数单调性，
当时，
在区间上是减函数，且，

所以在区间上是减函数；
在区间上是增函数，且，
所以在区间上是减函数，
则是区间上的减函数，故D正确；故选BD．

12. 【解析】对于、因为，，所以，所以恒成立，
故函数是“距”增函数，故正确；
对于、对任意，．
因为，故正确；
对于、因为，是“距”增函数，
所以时，恒成立，
即时，恒成立，
所以．
当时，，即恒成立，
所以，得；
当时，，得恒成立，
所以，得．
综上所述，得故正确．
对于、．
因为是“距”增函数，
所以恒成立，
因为，所以在恒成立，
所以，所以，
因为，所以，故错误；故选．

13. 

【解析】的展开式的通项，．

当选取时，应取展开式中含的项，令，则， ，此时的系数为；

当选取时，应取展开式中含的项，令，则，  ，此时的系数为；

所以．

故答案为．

14.   

【解析】等比数列是阶“期待数列”，由可知

写出一个满足条件的数列即可，，答案不唯一

15. 

【解析】设，，：，
与的方程联立，消得，
由题可知，则，且判别式，
则．
因为，所以，
即，
整理得：，
即，
即，
化简得：，
当时，解得：，
由于，所以，即，
即，
所以，所以，
另一方面，，
即，所以，即，
解得：，且，
所以，
故离心率的取值范围是．

16. 

【解析】设直线与曲线的切点为 ，与曲线的切点为，
 则 ，所以 

所以，所以，所以．

17. 解：依题意有
又．
可得数列为公比为的等比数列，
为公差为的等差数列，
由
得，解得．
故数列，的通项公式分别为
．
，
． 

18.解：的内角，，的对边分别为，且．
所以，
利用正弦定理得：，
即：，
由于：，
解得：．
由于，
且，
整理得：，
当且仅当的时候等号取得，
所以：．
故的面积的最大值为． 

19.证明：因为平面，在平面内，所以平面，
又因为，平面，所以，
在平面内，所以．

又，，、在平面内，

平面，

又在平面内，所以平面平面；

取的中点，则．
由可知，，，两两垂直，

平面，

是菱形，

在底面上的射影恰为的中点，
以，，为，，轴建立空间坐标系，
则，，，，，
所以，

平面所以平面法向量

设平面的法向量为，，，
则
令，则．
平面所成角的大小的余弦值． 

20.解：因为，，
，，
所以，
所以，
，．
由知，，所以的方程为．
联立
解得，
所以首次用药时的白细胞浓度为个时，最终用药剂量最少．
本题结论开放，只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可如：一次取
样未必能客观反映总体样本容量过小也可能影响估计的准确性忽略异常点的
影响也可能导致估计失真：模型选择不恰当，模型的拟合效果不好，也将导致估计
失真：样本不具代表性，也会对估计产生影响等等． 

21.解：由题意知，解得，

故抛物线的方程为：．

由知：，设直线的方程为：，、，则直线的方程为：，

联立得，
则，，，

，

同理可得，

四边形的面积，

当且仅当，即时等号成立，

四边形面积的最小值为．

22.解：函数的定义域是，
，
因为存在单调递减区间，所以有解，即，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
因此，即．
故的取值范围是；
证明：根据题意，令，即，
因为有两个不同极值点，，
所以，解得．
又，
故
，
，，
故，
故．