2019届天津市部分区高三下学期质量调查（一）数学（文）试题 PDF版

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）

数学（文）试题参考答案与评分标准

一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

9．     10．    11．

12．  13．   14．

三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）

15．解：（Ⅰ）∵，∴   ……………2分

∵，∴.   ………………………4分

由正弦定理，得 ………………………………………6分

（Ⅱ）∵，∴.  ……………………………………8分

∴

………………………11分

∴.     ………………………………………13分

16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为，…2分

所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为.    ………4分

（Ⅱ）5人中“积极型”有人，这两人分别记为.……5分

5人中“懈怠型”有人，这三人分别记为.   ……6分

在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果： .  …10分

事件“抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：…………………………12分

易得，其概率为.  

所以事件发生的概率. ………………………13分

17．（Ⅰ）证明：∵，∴. …………1分

又∵，     …………………2分

∴平面.  …………………………………3分

又∵，

∴.  ………………………………………4分

（Ⅱ）证明：取中点，连接.

∵分别是的中点，

∴∥且，……………………………………………………5分

又∵∥且，∴∥且， …………………6分

∴四边形 是平行四边形，∴∥ ，   …………………………7分

又∵平面，平面，

∴平面.   ……………………………………………………………8分

（Ⅲ）解：∵，

∴平面.      ……………………………………………………………9分

∴为直线与平面所成的角.  …………………………………10分

在 中， , , ,……11分

所以在中，.     …………………………12分

所以，直线与平面所成的角为．……………………………………13分

18．解：（Ⅰ）∵设等差数列的公差为，

∴，∴，∴.     …………………………………4分

设等比数列的公比为，，

∴，∴，所以.     ……………………………6分

（Ⅱ）由题意，得

.    ……………………………………………………………8分

∴，

∴.

上述两式相减，得

.    ………………………………………………12分

∴.   ……………………………………………………13分

19．解：(Ⅰ)由题意，知  ……………2分

解得

所以椭圆的方程为  …………………………………………………5分

（Ⅱ）易知，椭圆的左顶点，

设直线的方程为,则 .

由并整理，得.

设，，，∴.

，  …………………………………………7分

∴,，

∴，∴直线的斜率为 .

所以，直线方程为 .直线的方程为.

∴点     …………………………………………………………9分

∴点到直线的距离为 .

∴.

 .

∴  ……………………12分

∵，∴，解得.    ………………………14分

20．解：（Ⅰ）由题意，得，        …………………………1分

由函数在点处的切线与平行，得  …………2分

即.             ……………………………………………………3分

（Ⅱ）当时,，

由=0知.    ………………………………………………………4分

①当时，在恒成立，

所以函数在上单调递增.      ……………………………………………6分

②当时，由，解得或；由，解得.

函数在和上单调递增；在上单调递减.

当时，由，解得或；由，解得.

函数在和上单调递增；在上单调递减. 8分

（Ⅲ）当时,，

由 ，得对任意的恒成立.

∵,∴，

∴在恒成立.   ……………………………………9分

设,.则,

令,则,由，解得.  …………10分

由，解得；由，解得.

∴导函数在区间单增；在区间单减，  ………………12分

∴，所以在上单调递减，

∴，∴.   ……………………………………………13分

故所求实数的取值范围.    ………………………………………14分