2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣7　函数与导数

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这是一份2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣7　函数与导数，共9页。

1．函数的单调性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
如果∀x1，x2∈D，当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．
如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．
(2)单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数零点
(1)函数零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
3．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域．
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数)．
(2)①周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4．指数函数与对数函数的基本性质
(1)过定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过点(0,1)，
y＝lgax(a>0，且a≠1)恒过点(1,0)．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增；
当05．导数的概念及几何意义
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或，
即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
(3)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
6．导数的单调性、极值及最值
(1)函数的单调性与导数的关系：函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，f′(x)>0，f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)<0，f(x)在(a，b)上单调递减；f′(x)＝0，f(x)在(a，b)上是常数函数．
(2)函数的极值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
(3)函数的最大(小)值
①函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：一般地如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
②求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数．
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商(分母不为零)是偶函数，奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数．
(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)＝0.
(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；
f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．
2．函数的周期性的重要结论
周期函数y＝f(x)满足：
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|.
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|.
(3)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则函数的周期为2|a|.
3．函数的对称性的重要结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(3)f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称．
4．函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移，b<0时向下平移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
5．函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00)的图象．
(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)到原来的eq \f(1,b)，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b>0)的图象．
6．抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表
1．函数f(x)＝eq \f(1,lnx－1)＋eq \r(3－x)的定义域为( )
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案 B
解析由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≠1，,3－x≥0，))
∴1∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x<1，,fx－3，x≥1，))则f(9)等于( )
A．2 B．9 C．65 D．513
答案 A
解析 f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)
＝20＋1＝2.
3．(2022·黄山模拟)已知函数f(x)＝x2－xf′(1)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( )
A．3x－y－4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．3x＋y＋4＝0 D．3x＋y－4＝0
答案 A
解析由f(x)＝x2－xf′(1)，
得f′(x)＝2x－f′(1)，
所以f′(1)＝2－f′(1)，得f′(1)＝1，
所以f(x)＝x2－x，f′(x)＝2x－1，
所以f(2)＝22－2＝2，f′(2)＝2×2－1＝3，
所以所求切线方程为y－2＝3(x－2)，
即 3x－y－4＝0.
4．f(x)是定义在非零实数集上的函数，f′(x)为其导函数，且x>0时，xf′(x)－f(x)<0，记a＝eq \f(f20.2,20.2)，b＝eq \f(f0.22,0.22)，c＝eq \f(flg25,lg25)，则正确的是( )
A．aC．c答案 C
解析令g(x)＝eq \f(fx,x)，
得g′(x)＝eq \f(xf′x－fx,x2)，
由x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
得g′(x)<0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又lg25>lg24＝2,1<20.2<2,0<0.22＝0.04<1，可得lg25>20.2>0.22，
故g(lg25)5．(2022·蕲春第一高级中学模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2a，x≤0，,ln x，x>0，))若f(x1)＝f(x2)(x1A.eq \f(1,2) B．－eq \f(lnln \r(2),2)
C.eq \f(e,2) D．－eq \f(e,2)
答案 B
解析令f(x1)＝f(x2)＝t，
由图象可得t∈(－∞，－2a]，
因为x1所以x1－2a＝t，ln x2＝t，即x1＝t＋2a，x2＝et，
则2x2－x1＝2et－t－2a，
令g(t)＝2et－t－2a，t≤－2a，
则g′(t)＝2et－1，令g′(t)＝0，解得t＝－ln 2，
当a≥eq \f(ln 2,2)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，
g(t)min＝g(－2a)＝2e－2a＝ln 2，
解得a＝－eq \f(lnln \r(2),2)，符合题意，
当a则g(t)min＝g(－ln 2)＝1＋ln 2－2a＝ln 2，解得a＝eq \f(1,2)，不符合题意，
综上，a＝－eq \f(lnln \r(2),2).
6．(2022·烟台模拟)已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1答案－eq \f(4,5)
解析由题设，f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，
故f(2＋x)＝f(x)，即f(x)的周期为2，
所以f(2＋lg25)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×2＋lg2\f(5,4)))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(5,4)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(4,5)))，
且－1所以f(2＋lg25)＝.
7．(2022·杭州模拟)我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子·本经训》和《山海经·海内经》都有一定记载．如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3 500光年，如果将“3 500光年”的单位“光年”换算成以“米”为单位，所得结果的数量级是________(光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速v＝3×105 km/s；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字2.6×103的数量级是3)．
答案 19
解析根据题意得，太阳距离地球约3 500光年，一年有365×24×3 600 s，光速v＝3×105 km/s，
光一年走过的路程为365×24×3 600×3×105 km，
3 500光年走过的路程为3 500×365×24×3 600×3×105×1 000＝3.311 28×1019(m)，
所以数量级为19.
8．已知直线y＝mx与函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≤0，,\f(1,2)x2＋1，x>0))的图象恰有3个公共点，则实数m的取值范围是________．
答案 (eq \r(2)，＋∞)
解析根据题意，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≤0，,\f(1,2)x2＋1，x>0，))
作出f(x)的图象，如图，
当m≤0时，直线y＝mx和函数f(x)的图象只有1个交点；
当m>0时，直线y＝mx和函数y＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象只有1个交点，
直线y＝mx和函数y＝eq \f(1,2)x2＋1(x>0)的图象有2个交点，
即方程mx＝eq \f(1,2)x2＋1在(0，＋∞)上有2个不等的实数根，
mx＝eq \f(1,2)x2＋1⇒eq \f(1,2)x2－mx＋1＝0，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m2－2>0，,2m>0，))解得m>eq \r(2)，
即m的取值范围为(eq \r(2)，＋∞)．
9．(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝aln x＋eq \f(1,x)－1(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若不等式f(x)≥x－1对x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝aln x＋eq \f(1,x)－1(a≠0)，
得f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(1,x2)＝eq \f(ax－1,x2)，
当a<0时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,a)，
当0当x>eq \f(1,a)时，f′(x)>0，
所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，
综上，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
当a>0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增．
(2)由f(x)≥x－1对x∈(0,1]恒成立，
得aln x＋eq \f(1,x)－1≥x－1对x∈(0,1]恒成立，
即aln x＋eq \f(1,x)－x≥0对x∈(0,1]恒成立，
令g(x)＝aln x＋eq \f(1,x)－x，x∈(0,1]，
则g′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(1,x2)－1＝eq \f(ax－1－x2,x2)，
因为g(1)＝0，
所以要使g(x)在x∈(0,1]内恒大于等于零，
则g(x)在x∈(0,1]上单调递减，
所以g′(x)≤0，
所以ax－1－x2≤0，
所以a≤eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)在x∈(0,1]内恒成立，
因为x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，
当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，
所以a≤2且a≠0，
所以实数a的取值范围(－∞，0)∪(0,2]．
10．已知函数f(x)＝ex＋sin x－cs x－ax.
(1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)设函数g(x)＝f(x)－ln(1－x)，若g(x)≥0，求a的值．
解 (1)由题意知，
f′(x)＝ex＋cs x＋sin x－a，
因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝ex＋cs x＋sin x－a≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，
即a≤ex＋cs x＋sin x对x∈[0，＋∞)恒成立，
设h(x)＝ex＋cs x＋sin x，
则h′(x)＝ex－sin x＋cs x
＝ex－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
当0≤xh′(x)＝ex－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))>1－1＝0，
当x≥eq \f(π,2)时，h′(x)>－eq \r(2)>e－eq \r(2)>0，
所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以a≤h(x)min＝h(0)＝2.
所以a的取值范围为(－∞，2]．
(2)由题意知g(x)＝f(x)－ln(1－x)＝ex＋sin x－cs x－ax－ln(1－x)(x<1)，
所以g′(x)＝ex＋cs x＋sin x－a＋eq \f(1,1－x)，
g(0)＝0，
因为g(x)≥0，
所以∀x∈(－∞，1)，g(x)≥g(0)，
即g(0)为g(x)的最小值，且x＝0为g(x)的一个极小值点，
所以g′(0)＝e0＋cs 0＋sin 0－a＋eq \f(1,1－0)＝0，
解得a＝3，
当a＝3时，g(x)＝ex＋sin x－cs x－3x－ln(1－x)(x<1)，
所以g′(x)＝ex＋cs x＋sin x－3＋eq \f(1,1－x)
＝ex＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－3＋eq \f(1,1－x)，
①当0≤x<1时，g′(x)≥1＋1－3＋1＝0(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以g(x)在[0,1)上单调递增；
②当x<0时，若－eq \f(π,2)≤x<0，
g′(x)<1＋1－3＋1＝0；
若x<－eq \f(π,2)，g′(x)所以g(x)在(－∞，0)上单调递减．
综上，g(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0,1)上单调递增，g(x)≥g(0)＝0，
所以a＝3.抽象函数的性质
特殊函数模型
(1)f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)，
(2)eq \f(fx,fy)＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0)
指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)
(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)，
(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)(x>0，y>0)
对数函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)
(1)f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)，
(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝eq \f(fx,fy)(x，y∈R，y≠0，f(y)≠0)
幂函数f(x)＝xn
f(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)
三角函数f(x)＝sin x，g(x)＝cs x