2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣4　立体几何与空间向量【无答案版】

这是一份2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣4　立体几何与空间向量【无答案版】，共6页。

1．空间几何体的侧面积、表面积和体积
2.平行、垂直关系的转化
(1)平行问题的转化关系
(2)垂直问题的转化关系
(3)两个结论
对于直线a，b和平面α，eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α.
3．利用空间向量证明平行或垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔________________.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku(k∈R)⇔a1＝________，b1＝________，c1＝________.
(3)面面平行
α∥β⇔u∥v⇔u＝λv(λ∈R)⇔a2＝________，b2＝________，c2＝________.
(4)面面垂直
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔________________.
4．利用空间向量求空间角
(1)设直线l1，l2的夹角为θ，则有cs θ＝|cs〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)设直线l与平面α的夹角为θ，则有sin θ＝|cs〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)设平面α，β的夹角为θ，则有cs θ＝|cs〈n1，n2〉|(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
5．点到平面的距离的求法
(1)定义法：可以利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段．
(2)等积法：可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算．
(3)向量法：设A是平面α外一点，B是平面α上一点，n是平面α的法向量，则A到平面α的距离是________________．
1．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方．
2．长方体、正方体的内切球和外接球
(1)长方体的体对角线长d与共点的三条棱长a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；
若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
(2)棱长为a的正方体内切球半径r＝eq \f(a,2)，外接球半径R＝eq \f(\r(3),2)a.
3．正四面体的性质
设棱长为a，则正四面体的高h＝eq \f(\r(6),3)a，内切球半径为eq \f(\r(6),12)a，外接球半径为eq \f(\r(6),4)a.
4.球与旋转体的组合通常作轴截面解题．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
1．(2022·沈阳模拟)现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是( )
A．9∶4 B．9∶5
C．3∶2 D．3∶1
2．(多选)(2022·石家庄模拟)设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A．若a∥b，b∥α，则a∥α
B．若a∥b，a∥α，b∥β，则a∥β
C．若a⊥b，a⊥α，b∥β，则α⊥β
D．若a⊥α，b∥α，则a⊥b
3．(2022·张家口模拟)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2 cm、底面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为(参考数据：π≈3.14，eq \r(3)≈1.732)( )
A．0.25 cm3 B．0.65 cm3
C．0.15 cm3 D．0.45 cm3
4．(多选)(2022·济南模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论正确的是( )
A．BO⊥AC
B．BO∥平面ACD1
C．点B到平面ACD1的距离为eq \f(\r(3),3)
D．直线BO与直线AD1的夹角为eq \f(π,3)
5．(多选)(2022·顺义模拟)如图，设E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD上的两个动点，点E在点F的左边，且满足2EF＝DC＝eq \f(1,2)BC，则下列结论正确的是( )
A．B1D1⊥平面B1EF
B．三棱锥D1－B1EF的体积为定值
C．A1A∥平面B1EF
D．平面A1ADD1⊥平面B1EF
6．已知过圆锥顶点P的截面为△PAB，O为底面圆的圆心，若二面角P－AB－O的大小为60°，∠AOB＝120°，AB＝2eq \r(3)，则圆锥的侧面积为( )
A.eq \r(3)π B．2eq \r(3)π C.eq \r(7)π D．2eq \r(7)π
7．(2022·九江模拟)如图，棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(PC1,\s\up6(―→))，M为平面BDC1内一动点，则MC＋MP的最小值为________．
8．三棱锥P－ABC中，底面为等边三角形，侧棱长相等，∠APB＝90°，点P到底面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的体积为________．
9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，∠BAC＝30°，侧面BCC1B1是正方形，E是BB1的中点，CE＝eq \r(5)，CE⊥AC.
(1)求证：CC1⊥AC；
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(2)F是线段AC1上的点，若平面ABC与平面CEF的夹角为45°，求AF的长．
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10.在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，EA⊥平面ABCD，EA∥FD，EA＝AD＝2FD＝2，
(1)证明：直线FC∥平面EAB；
(2)求平面EFC与平面FCA夹角的正弦值；
(3)线段EC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为eq \f(\r(2),8)？若存在，求eq \f(EM,MC)；若不存在，说明理由．
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_______________________________________________________________________________几何体
侧面积
表面积
体积
圆柱
S侧＝______
S表＝________
V＝S底h＝________
圆锥
S侧＝______
S表＝________
V＝eq \f(1,3)S底h＝________
直棱柱
S侧＝Ch(C为底面周长)
S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0)
V＝________
正棱锥
S侧＝eq \f(1,2)Ch′(C为底面周长，h′为斜高)
V＝________
球
S＝________
V＝________