2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题1．已知数列满足，，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，进而求得结果.【详解】由已知得，，，，， 可以判断出数列是以4为周期的数列，故，故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ）A．10 B．15 C．20 D．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．【详解】设最小的一份为个，公差为，，，由题意，解得．故选：A．3．等比数列的前项和，则=（    ）A．-2 B． C．2 D．【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出.【详解】，当时，，当时，，故，当时，，从而，由于是等比数列，故，解得：.故选：A4．为不超过x的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若数列的前n项和为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.【详解】当时，，，，故，即，当时，，，，故，即，当时，，，，故，即，以此类推，当，时，，，故可以取的个数为，即，当n=1时也满足上式，故，所以，，所以.故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，故第四个五边形数为.故选：D.6．已知函数，其导函数记为，则（    ）A．-3 B．3 C．-2 D．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.【详解】由已知得，则，，则，即，则，故选：.7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a的取值范围【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图象上存在与直线x＋2y＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，∵x>0，∴，∴．故选：A．8．已知R上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．的最大值为 B．的极大值为C．有两个零点 D．有两个极值点【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答.【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因，即有，A不正确；函数在处取得极小值，在处取得极大值，B不正确，D正确；由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x轴的交点个数就不确定，C不正确.故选：D9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、的大小即可.【详解】令，则．因为对于恒成立，所以，即在上单调递增，又，，，且，所以，即．故选：A10．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式求解即可.【详解】因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即，即恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以，故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为(    )A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x>0时g(x)图像的形状，根据g(x)图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f(x)和g(x)的解析式可知f(x)和g(x)均为偶函数，图像关于y轴对称，当x>0时，，设y，则，∴此时f(x)对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，∴x>0时，g(x)对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x轴上方，故排除选项BC；且该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A图像满足．故选：A．12．函数，的减区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与的符号一致，求解可得的减区间．【详解】∵，令得：，∴即的减区间为．故选：B． 二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差，所以夏至的日晷长为．故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，数列是递增数列，则______．【答案】【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.【详解】因为，，，所以，即，，且是递减数列，数列是递增数列或（舍去），，，故可得当 时，，故答案为：15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则___________.【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出的值，从而可求出的值【详解】设四个数为，，，，由，即，可得，则.故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则实数a的取值范围为______．【答案】【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式即可求解.【详解】对于任意，，有，不妨设，则，即，设，则，又，所以单调递增，则恒成立，因为，所以，令，要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，又，所以，即，故答案为： 三、解答题17．已知数列的前n项和为，且．(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）利用可得答案；（2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n＝1时，，解得，当时，由①，得②，①－②得，，∴，∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，∴，∴，，∴，∴．18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.【详解】（1）解：设的公差为，由题意得：化简整理得：解得：，；（2）解：由（1）知，，，，，，，.19．已知数列，首项，前项和足.（1）求出，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；（2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得：，由，得：，由，得：，由，得：，猜想的表达式为：；综上所述，答案为：，，，；；（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；2.假设当时，猜想正确，即；那当时，由已知得：将归纳假设代入上式，得：∴，这就是说，当时，猜想正确；综上所述1，2知：对一切，都有成立.【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当a＝1时，求在上的最值．【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；（2），根据函数的单调性，求函数的最值.【详解】（1）由题意得，，当时，恒成立，此时在上是增函数，当时，令，解得，令，可得或；令，可得，所以在和上是增函数，在上是减函数．（2）由题意得，，由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．又，，，，故在上的最大值为，最小值为．21．当时，函数（）有极值，(1)求函数的解析式；(2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.【详解】（1），由题意得：，解得：，经验证，函数在处有极值，故解析式为：．（2）令，由得：令得，，∴当时，，当时，，当时，，因此，当时， 有极大值，当时，有极小值，关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，所以．故实数的取值范围是22．已知函数．(1)求曲线在点，处的切线方程；(2)当时，求的单调区间；(3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(3) 【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.【详解】（1），所以，又，所以在，处的切线方程：，即．（2）当时，，，所以在，上，，单调递增，在，，，上，，单调递减，所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．（3）当时，令，得，所以，令，，，当，时，，，即，所以在，上单调递增，又，，若在区间有一个零点，则，故的取值范围，．