2021-2022学年福建省南安市柳城中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年福建省南安市柳城中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知直线与直线平行，则实数的值为（    ）

A．-8 B．2 C．-2 D．8

【答案】C

【分析】分，两种情况讨论，利用斜率相等且两直线不重合，即得解

【详解】当时，显然两条直线不平行.

当时，∵直线与直线平行，

∴，解得，经检验知两条直线不重合，符合题意.

故选：C

2．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线方程，直接写出准线方程即可.

【详解】因为，其为开口向下的抛物线，故其准线方程为.

故选：C.

3．已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的正弦值.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，

则，

设平面的法向量为，

则，令，则，所以.

设与平面所成角为，

则.

故选：A

4．已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．

【详解】直线过定点，且，

由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，

解得，

故选：B．

5．如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】,

故选：B.

6．椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设椭圆半焦距为c，根据给定条件可得b=c，再确定a与c的关系即可得解.

【详解】设椭圆半焦距为c，因椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则有b=c，

而，于是得，

所以椭圆的离心率是.

故选：D

7．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】8．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ）

A．9 B．5 C．8 D．4

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义转化为可求解.

【详解】设右焦点为，则，依题意，有，

，（当在线段上时，取等号）．

故的最小值为9.

故选：A.

二、多选题

9．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．|PF1|＋|PF2|＝2

B．离心率e＝

C．△PF1F2面积的最大值为

D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切

【答案】AD

【分析】由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.

【详解】对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；

对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；

对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；

对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.

故选：AD.

10．已知圆，直线，()．则下列四个命题正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1

C．圆与曲线恰有三条公切线，则

D．当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点

【答案】ACD

【解析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD的正误，根据圆心到直线的距离可判断B的正误，根据两圆外切可判断C的正误.

【详解】直线可化为：，

由可得，故直线恒过定点，故A正确.

当时，直线，圆心到该直线的距离为，

因为，故圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，故B错.

因为圆与曲线恰有三条公切线，故两圆外切，

故，故，故C正确.

当时，直线，设，

则以为直径的圆的方程为，

而圆，故的直线方程为，

整理得到，由可得，

故直线经过点，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.

11．过点引圆的切线，则切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．

【详解】根据题意知圆的圆心为，半径，

若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；

若切线的斜率存在，设切线方程为，即，

则有，解可得，所以切线方程为，

综上可知，切线方程为或.

故选：BC．

12．设动点在正方体的对角线上，记当为钝角时，则实数可能的取值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】AB

【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据题意得到，再解不等式即可得到答案.

【详解】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方体的边长为，则，，，，

，，，

所以.

又因为，

，

因为为钝角，所以，

即，

解得.

故选：AB

【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于简单题.

三、填空题

13．已知直线经过点，直线经过点，如果那么________．

【答案】或．

【分析】当直线和中有一条斜率不存在时，的斜率不存在，的斜率为0满足条件，直线的斜率均存在，由，即，求得的值.

【详解】解:因为直线经过点，且，所以的斜率存在，而的斜率可能不存在，下面对a进行讨论：

当，即时，的斜率不存在，的斜率为0，此时满足．

当，即时，直线的斜率均存在，设直线的斜率分别为．由得，

即，解得．

综上，a的值为或．

故答案为：或

14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.

【答案】

【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.

【解析】椭圆的几何性质；圆的标准方程

15．已知点P是地物线上的一个动点，则点P到直线和的距离之和的最小值为________.

【答案】3

【分析】求出抛物线的焦点坐标,准线方程,利用抛物线的定义转化为焦点到直线的距离求解即可.

【详解】抛物线,即x2=4y的焦点坐标为 (0,1),准线方程l2:y+1=0.

由抛物线的定义,可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等,

所以抛物线上的点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值,转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0的最小值,

.

故答案为:3.

【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：

①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；

②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.

四、双空题

16．已知点为双曲线在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为 ___；若，分别交双曲线于，两点，记直线与的斜率分别为，，则___.

【答案】     4     15

【分析】设，由已知条件可得，从而可得点横坐标，由勾股定理可得，将代入双曲线方程结合可得关于的齐次方程，即可求离心率；由题意知：，由可得，再计算即可求解.

【详解】设， 因为， 所以，

由可得，

＝，即，

把代入双曲线方程，可得，

即，

又，代入上式可得，

即，解得或

所以双曲线的离心率；

设，则，

因为，所以，，

所以，

把、的坐标分别代入双曲线方程，可得

两式作差可得，

即，

∴

故答案为：；.

【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：

（1）直接利用公式；

（2）利用变形公式；

（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.

五、解答题

17．（1）直线经过两直线和的交点，且直线与直线垂直，求直线的方程；

（2）已知以为圆心的圆与圆O：相切，求圆的方程.

【答案】（1）；

（2）或

【分析】（1）联立方程组，求出交点坐标，再根据垂直关系求得斜率，从而求得直线方程；

（2）设圆的半径为，求出两圆的圆心距，由相切条件可知，两圆的半径之和或差的绝对值就等于圆心距，从而求出圆的半径，写出圆的方程.

【详解】（1）由 得，即交点坐标为，

又因为直线与直线垂直，

所以直线的斜率为，

则直线的方程为，即；

（2）设圆的半径为，

两圆的圆心距为，

因为两圆相切，所以或，则或，

所以所求圆的方程为：

或.

18．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆A相交于两点.

(1)求圆A的方程.

(2)当时，求直线的方程.（用一般式表示）

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由圆心到切线的距离等于半径求得半径后得圆方程；

（2）由圆弦长公式求得圆心到直线的距离，然后分类讨论，验证斜率不存在时是否满足题意，斜率存在时，设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程．

【详解】（1）由题意知：点到直线的距离为圆A的半径

圆A的方程为：；

（2）连接，则由垂径定理可知：且在Rt中，由勾股定理知：当动直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：

由点到动直线的距离为1得：，解得：

此时直线的方程为：

综上，直线的方程为：或．

19．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，作PD⊥x轴，D为垂足，M为PD上一点，且.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点且斜率为的直线被方程C所截线段的长度

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，，则由PD⊥x轴与，得，代入，整理得；

（2）由题意可求得直线方程为，代入椭圆方程，由韦达定理可知：，，进而由弦长公式即可求得直线被C所截线段的长度．

【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，

因为PD⊥x轴且，得，即，

因为在圆上，得，故，整理得，

故的方程为；

（2）由点斜式知，过点且斜率为的直线方程为，

设直线与的交点为，，将直线方程代入的方程，

得，整理得，所以，，

故线段的长度为，

所以直线被所截线段的长度为.

20．中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4,离心率之比为.

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若点是椭圆和双曲线的一个交点，求.

【答案】(1)椭圆方程为，双曲线方程为

(2)

【分析】（1）利用题设分别求椭圆和双曲线的基本量；

（2）根据椭圆及双曲线的定义建立等式，可求出，再用余弦定理即可.

【详解】（1）由已知得，设椭圆长、短半轴长分别为、，双曲线实半轴、虚半轴长分别为、，

则解得．所以．

故椭圆方程为，双曲线方程为．

（2）由椭圆、双曲线的对称性，不妨设、分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则，

所以．又，    

故．

21．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）18.

【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.

【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.

当y=0时，解得，所以a=4，

椭圆过点M(2，3)，可得，

解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得：，

化简可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值：.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C、E、D、G四点共面．

（1）证明：平面BCG；

（2）若直线DF与平面AFB所成角为45°，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）连结，则由已知可得，有，而，所以可由线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】解：（1）连结，因为点G为弧CD的中点，是直径，，，

所以，所以，

又因为平面，平面，所以，

又平面，．

所以平面．

（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，

因为直线与平面所成角为，则，，，，

设平面的法向量为，

由可得：，令，则，

设平面的法向量为，则

，得，令，则

则，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．