2021-2022学年广东省汕尾市高二上学期期末教学质量监测数学试题 （Word版）

汕尾市2021-2022学年度第一学期全市高中二年级

教学质量监测数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 中心在原点双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（    ）

A.  B.  

C.  D.

3. 圆与圆的位置关系是(    )

A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离

4. 设为等差数列的前项和，，，则

A -6 B. -4 C. -2 D. 2

5. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（    ）

A.  B.  

C.  D.

6. 函数，若实数是函数的零点，且，则（    ）

A  B.  C.  D. 无法确定

7. 在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知直线，则下述正确的是（    ）

A. 直线的斜率可以等于

B. 直线的斜率有可能不存在

C. 直线可能过点

D. 若直线的横纵截距相等，则

10. 已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的是（    ）

A. 当时，曲线C为圆 B. 若曲线C为椭圆，且焦距为，则

C. 当或时，曲线C为双曲线 D. 当曲线C为双曲线时，焦距等于4

11. 已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（    ）

A. 若是等差数列，则

B. 若是等比数列，则

C. 若是递减等差数列，则当取得最大值时，或

D. 若是递增等差数列，对恒成立，则

12. 如图，棱长均为2的平行六面体中，平面ABCD，，E，F分别是线段BD和线段上的动点，且满足，，则（    ）

A. 当时，

B. 当时，直线EF与直线所成角的大小为

C. 当时，若，则

D. 当时，三棱锥体积的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______．

14. 在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为______．

15. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．

16. 已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______．

四、解答题：本题共16小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 给出以下三个条件：①；②，，成等比数列；③．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分．

已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，______．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，令，求数列的前n项和．

18. 某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：

（1）求的值，并估计这名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；

（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的名学生中，第三组和第五组各有名的概率．

19. 已知圆C过两点，，且圆心C直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）过点作圆C的切线，求切线方程．

20. 如图，在棱长为的正方体中，为中点．

（1）求二面角的大小；

（2）探究线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

21. 如图，五边形为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出，两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．现已知，，千米，千米．

（1）求服务通道的长．

（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大，并求最大值．

22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值．

答案

1-8 CDBAB  ABC  9.BD  10.AC  11.BC  12.ABD

13. ##

14.

15.

16. 2

17.（1）设数列的公差为d

选择①，由题意得，又，则，所以；

选择②，由，，成等比数列，得，即，

解得，或（舍去），所以；

选择③，由，得，解得，所以．

（2）由题意知，

∴        ①

        ②

①－②得

∴，即.

18.（1）根据频率分布直方图可得：

，

解得．设中位数为，由题意得

，解得

所以这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟．

（2）由频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为，

所以分层抽样抽出的人中，第三组和第五组的人数分别为人和人，

第三组的名学生记为，，，，第五组的名学生记为，，

所以从名学生中抽取名的样本空间

，

共15个样本点，记事件“名中学生，第三组和第五组各名”

则，共有个样本点，

所以这名学生中，两组各有名的概率．

19.（1）解：根据题意，因为圆过两点，，

设的中点为，则，

因为，所以的中垂线方程为，即

又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，

（2）解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切

当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）

由圆心C到切线的距离，可得

将代入（*），得切线方程为

综上，所求切线方程为或

20.（1）如下图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．所以，

设平面的法向量，所以，即，

令，则，，所以，

连接，因为，，，平面，

平面，平面，所以平面，

所以为平面的一个法向量，

所以，

由图知，二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为．

（2）假设在线段上存在点，使得平面，

设，，

，

因平面，所以，即

所以，即解得

所以在线段上存在点，使得平面，

此时点为线段上靠近点的三等分点．

21.（1）在中，由正弦定理得：

，

在中，由余弦定理，

得，

即

解得或（负值舍去）

所以服务通道的长为千米．

（2）在中，由余弦定理得：，

即，所以

因为，所以，

所以，即（当且仅当时取等号）

即当时，折线赛道的长度最大，最大值为千米．

22.（1）解：∵的周长为8，

∴，即，

∵离心率，

∴，，

∴椭圆C的标准方程为．

（2）方法一：设，

则直线斜率，∵，

∴直线斜率，

∴直线的方程为：，

同理直线的方程为：，

联立上面两直线方程，消去y，得，

∵在椭圆上，

∴，即，

∴，

∴

所以与的面积之比为定值4．

方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，

则直线的方程为，

∵，∴直线的方程为，

将代入，得，

∵P是椭圆上异于点，的点，

∴，

又∵，即，

∴，即，

由，得直线的方程为，

联立得，

∴

所以与的面积之比为定值4．