2021-2022学年广西桂林市第十九中学高二上学期期中质量检测数学试题（解析版）

2021-2022学年广西桂林市第十九中学高二上学期期中质量检测数学试题

一、单选题

1．数列，，， ，…的一个通项公式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将分别代入四个选项检验，利用排除法即可得正确选项.

【详解】对于A：，，，不符合题意，故选项A不正确；

对于B：，不符合题意，故选项B不正确；

对于D：，不符合题意，故选项D不正确；

对于C：，，，, 符合题意，故选项C正确；

故选：C.

2．下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】举特值分析可知ABD不正确，根据不等式的性质可知C正确.

【详解】对于A，当，时，满足，但不满足，故A不正确；

对于B，当时，由可得，故B不正确；

对于C，若，则，即，故C正确；

对于D，当，时，满足，但是，故D不正确.

故选：C

3．下面给出的四个点中位于表示的平面区域的点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将点的坐标分别代入不等式组进行验证即可．

【详解】当x＝1，y＝0时，满足不等式组，故A正确；

当x＝－1，y＝1时，x≥0不成立，故B错误；

当x＝1，y＝1时，2x＋y≤2不成立，故C错误；

当x＝1，y＝－1时，x－y≤1不成立，故D错误，

故选：A．

4．在等差数列中，，公差，则（    ）

A．12 B．14 C．16 D．1

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式计算可得；

【详解】解：因为，公差，所以

故选：B

5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则等于(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦定理即可求解﹒

【详解】由正弦定理得，∴﹒

故选：B﹒

6．已知等差数列的前项和为，则（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】A

【分析】由题意列方程组求得首项和公差，利用等差数列通项公式, 即可求得答案.

【详解】由题意知等差数列的前项和为，

设数列公差为d，则 ，解得 ，

故，

故选：A

7．在中，角的对边分别为，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据余弦定理，结合题干数据即得解

【详解】由题意，根据余弦定理

又，代入可得

解得（舍负）

故选：D

8．已知递增等比数列，则（    ）

A．15 B．31 C．32 D．63

【答案】B

【分析】由题意利用等比数列性质求出首项和数列的公比，利用等比数列前n项和公式即可求得答案.

【详解】由递增等比数列，

可得，结合，可得，

设递增等比数列的公比为 ，因为，故，

则公比 ，故，

故，

故选：B

9．已知，则的最小值为（    ）

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【分析】将变为，利用基本不等式即可求得答案.

【详解】因为,

,

当且仅当，即时取得等号，

即的最小值为12，

故选：C

10．对，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围.

【详解】不等式对一切恒成立，

当，即时，恒成立，满足题意；

当时，要使不等式恒成立，

需，即有，

解得.

综上可得，的取值范围为.

故选：A.

11．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若△ABC的面积是，，a＝2c，则b＝（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求a的值，根据余弦定理可求b的值.

【详解】解：因为△ABC的面积是，，a＝2c，

所以，解得，可得，

由余弦定理可得.

故选：C.

12．数列的首项，且，令，则（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】C

【分析】由题意得，结合已知有是首项、公比均为4的等比数列，进而得到，即可求目标式的值.

【详解】∵，

∴，即且，

∴数列是以4为首项，公比为4的等比数列，故，

由得：，

设数列的前项和为，则，

∴．

故选：C

二、填空题

13．已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于__________.

【答案】12

【分析】根据等差中项以及等比中项的概念求得，即可得答案.

【详解】因为是2和4的等差中项，故 ，

正数是和的等比中项，故，

所以，

故答案为：12

14．在中，已知，，三角形面积为，则___________．

【答案】35##0.6

【分析】在中，由三角形的面积公式即可求解.

【详解】在中，已知，，三角形面积为12，

所以，整理得：，

故答案为：．

15．若，则的最小值是__________．

【答案】0

【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．

【详解】根据约束条件画出可行域（如图），

把变形为，得到斜率为－1，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线．

由图可知，当直线过原点时，截距最小，

所以的最小值为0．

故答案为：0．

16．已知数列的前项和为，，设数列|的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据公式，结合裂项相消法、放缩法进行求解即可.

【详解】因为，所以当时，

，所以，

又符合上式，

所以，

．

所以，

又对任意的恒成立，

所以，解得或，

故答案为：．

【点睛】关键点睛：利用求出数列的通项公式，再利用裂项相消法、放缩法求解是解题的关键.

三、解答题

17．求下列不等式的解集：

(1)；

(2)

【答案】(1)或

(2)

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】（1）原不等式整理得，，

即，解得或，

原不等式的解集为或

（2）原不等式整理得，，

，

原不等式的解集为.

18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，.

（1）求a；

（2）求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由余弦定理直接计算即可得解；

（2）根据三角形面积公式直接计算即可得解.

【详解】（1）

由余弦定理，可得：

，所以；

（2）的面积为．

19．已知等差数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）列出关于首项与公差的方程组并求解，结合等差数列通项公式，即可得解；

（2）根据题意，求得，结合裂项相消法求和，即可得解．

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

由，且，

得，解得，

．

（2），

．

20．已知的内角的对应边分别为，且.

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式即得；

（2）根据三角形面积公式得出，然后根据余弦定理即求.

【详解】（1），

由正弦定理得：，

即，

∴

在中，，

，

所以，

因为，所以；     

（2）

∴，

由余弦定理可得，即

.

21．中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额-成本）；

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元．

【分析】（1）根据销售额减去成本（固定成本万和投入成本）求出利润函数即可．

（2）根据（1）中的分段函数结合二次函数在确定区间上求最值以及均值等式求最值可求出何时取最大值及相应的最大值．

【详解】（1）当时，；

当时，；

∴；

（2）若，，

当时，万元；

若，，

当且仅当即时，万元．

因为，故最大利润是8250万元，

答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元．

22．设数列的前项和为.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)令，求数列的前项和为.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由求得首项，然后可得时，,利用两式相减的方法可得，即可得，证明结论；

（2）由（1）可得，利用错位相减法，即可求得数列的前项和为.

【详解】（1）由已知，

当时，,

当时，,

和相减，得,

两边同时除以，得,即，

所以数列是公差为1的等差数列，其首项为.

（2）由（1）可知，所以,

故①，

②，

①-②得：，

即，

，

.