2021-2022学年广西桂林市兴安县第三中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广西桂林市兴安县第三中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的定义计算可得.

【详解】解：因为，，

所以.

故选：A

2．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数的真数为正列出不等式即可求得该函数的定义域

【详解】由，可得，则函数的定义域是

故选：B

3．抛掷一枚骰子得到偶数点的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：抛掷一枚骰子可能出现的结果有、、、、、共个结果，

其中出现偶数点的有、、共个结果，

所以抛掷一枚骰子得到偶数点的概率.

故选：D

4．在等差数列中，，公差，则等于（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【解析】利用等差数列的通项公式计算即可.

【详解】,

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属容易题，等差数列的通项公式是：.

5．下列函数中，在区间内单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数单调性选出结果即可.

【详解】对于A，由幂函数的性质可得在单调递增,故不正确；

对于B，由幂函数的性质可得在单调递减, 故正确；

对于C，由指数函数的性质可得在单调递增, 故不正确；

对于D，由对数函数的性质可得在单调递增. 故不正确；

故选:B

6．命题甲“”.命题乙“ ”.那么甲是乙的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：若，则，

所以由推不出，

由也推不出，故甲是乙的既不充分又不必要条件.

故选：D

7．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【详解】分析：已知两边和夹角直接应用余弦定理即可.

详解：已知，，，根据余弦定理得到

点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

8．在中，角的对边分别是，若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理的边角互化即可求解.

【详解】在中，由，

则，

又因为，

所以.

故选：D

9．曲线在处的切线斜率是

A．1 B．-1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由导数的几何意义，曲线在处的切线斜率即为，先求的导函数，再取即可得解.

【详解】解:由,

则,

所以,

即曲线在处的切线斜率是，

故选B.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了运算能力，属基础题.

10．已知平面向量与垂直.则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量垂直可得向量数量积为0,利用向量的坐标运算写出式子,解出即可.

【详解】解:由题知,

即,

即,

即,

解得:.

故选:A

11．某学校共有老、中、青职工人，其中有老年职工人，中年职工人数与青年职工人数相等．现采用分层抽样的方法抽取部分职工进行调查，已知抽取的老年职工有人，则抽取的青年职工应有（    ）

A．人 B．人 C．人 D．人

【答案】B

【分析】利用分层抽样的性质求解.

【详解】由题意知：

抽取的青年职工应有：人 .

故选：B.

12．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为．通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据类比推理的思想，可先得到空间中点到面的距离公式为，根据题中数据即可求出结果.

【详解】因为在平面内，点到直线的距离公式为，

类比可得：空间中点到面的距离公式，

所以点到平面的距离为.

故选B

【点睛】本题主要考查类比推理，熟记类比推理的特征即可，属于常考题型.

二、填空题

13．一个盒子中装有8个小球，红球有3个，白球有5个，每次从袋子不放回地抽取1个小球，则在第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率为_________.

【答案】

【分析】分别计算第一次抽取的球是红球的概率和第一次抽取的球是红球，第二次抽取的球为白球的概率，然后根据条件概率的计算公式,可得结果.

【详解】记事件表示“第一次抽取的球是红球”

事件表示“第二次抽取的球为白球”

则，

则

故答案为：

【点睛】本题考查条件概率，熟记公式，细心计算，属基础题.

14．在线段上任取一点.则此点坐标小于的概率为________.

【答案】

【分析】根据几何概率的计算公式计算出结果即可.

【详解】解：设“所取点坐标小于”为事件 ,

则满足的区间为,

根据几何概率的计算公式可得:

.

故答案为:

15．不等式组所表示的平面区域的面积为___________.

【答案】

【分析】画出不等式组所表示的可行域即可求平面区域的面积.

【详解】画出不等式组所表示的平面区域如图，易知，

由，得，所以，

所以平面区域的面积为.

故答案为：.

16．某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如表.与的线性回归方程为.当广告支出万元时，随机误差的残差为________.

【答案】

【分析】根据回归直线方程可得时的值，然后根据随机误差的残差的概念即得.

【详解】当时.得，

∴当广告费支出为万元时，随机误差的残差为．

故答案为：.

三、解答题

17．已知复数.

（1）当实数为何值时，复数为纯虚数；

（2）当时，计算.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由复数为纯虚数得出其实部为零，虚部不为零，进而可解得实数的值；

（2）当时，由复数的四则运算法则可计算得出的值.

【详解】（1）复数为纯虚数，则，解得；

（2）当时，，

.

【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了复数的计算，考查计算能力，属于基础题.

18．如图，正方体中，E为的中点.

（1）证明：；

（2）证明：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）连结，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到；

（2）设，连结，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得

/平面

【详解】（1）连结，因为为正方形，所以，

又因为平面且平面，所以，

所以平面，

又因为平面，所以

（2）设，连结，

因为在，分别为的中点，所以，

又因为平面且平面，

所以/平面.

19．已知抛物线的准线方程为.

(1)求p的值；

(2)直线交抛物线于A，B两点，求弦长.

【答案】(1)2

(2)8

【分析】（1）根据抛物线的准线方程直接求出即可；

（2）设，，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解.

【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程为，

所以，所以；

（2）解：设，，

由，消去，得，

则，，

所以.

20．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．

(1)求的解析式；

(2)求在上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为8，最小值为．

【分析】（1）由题意可得从而可求出，即可求出的解析式，

（2）令，求出的值，列表可得的值随的变化情况，从而可求出函数的最值

【详解】（1）由题意可得，．

由解得

经检验得时，有极大值．

所以．

（2）由（1）知，．

令，得，，

，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最大值为8，最小值为．

21．携号转网.也称作号码携带、移机不改号.即无需改变自己的手机号码.就能转换运营商.并享受其提供的各种服务．年月日.工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户.从运营系统中选出名客户.对业务水平和服务水平的评价进行统计.其中业务水平的满意率为.服务水平的满意率为.对业务水平和服务水平都满意的客户有人．

(1)完成下面列联表；

(2)并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；

 (附： )．

【答案】(1)表格见解析

(2)有的把握认为业务水平与服务水平有关．

【分析】（1）先求得对业务满意的有人，对服务满意的有人，进而完成列联表；

（2）先计算出的值，再利用表格进行比较即可做出判断.a

【详解】（1）由题意知对业务满意的有人，

对服务满意的有人，

又对业务水平和服务水平都满意的客户有人

得列联表：

（2）经计算得：

.

所以有的把握认为业务水平与服务水平有关．

22．某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了名学生，对他们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图．

(1)求的值和数学成绩在分以上的人数；

(2)从成绩大于的人中任选人，求恰好有人成绩大于分的概率．

【答案】(1)0.02；6

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再求出数学成绩在分以上的频数；

（2）依题意成绩在的有人，分别记为，成绩大于的有人，分别记为，利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：由频率分布直方图得，

解得，

所以数学成绩在分以上的人数为(人)．

（2）解：由（1）知数学成绩在分以上的人数有人，

其中成绩在的有人，分别记为，

成绩大于的有人，分别记为，

从中任取人，共有种取法

，

.

恰好有人的成绩大于的取法共有种取法，

分别为，

所以恰好有人的成绩大于的概率．