2021-2022学年广西梧州市藤县第七中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广西梧州市藤县第七中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（   ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式，结合集合交集的运算即可求解.

【详解】由题知或，

所以

故选：B.

2．已知向量，，若，则实数的值为（    ）.

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】利用向量共线的坐标公式计算即可．

【详解】

故选：D

【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查向量共线的应用，属于基础题．

3．不等式的解集为（    ）

A． B． C．  D．

【答案】B

【分析】转化分式不等式，结合一元二次不等式即可求解.

【详解】由题知，所以，

即，解得，对应区间为

故选：B.

4．在中，已知C=45°，，，则角B为（    ）

A．30 B．60 C．30或150 D．60或120

【答案】A

【分析】由正弦定理，求得，结合，即可求解.

【详解】在中，由正弦定理可得，

又因为，可得，即，所以.

故选：A.

5．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】根据题意可得 ，整理求解不等式即可得到结果.

【详解】由已知可得，，即，

解不等式可得，或.

所以，m的取值范围是或.

故选：A.

6．已知数列为等差数列，为前n项和，若，，则（    ）

A．125 B．115 C．105 D．95

【答案】D

【分析】设数列的首项为，公差为d，由题意列出方程组，求出和d，然后由前n项和公式求解即可.

【详解】设数列的首项为，公差为d，

由题得：，

所以.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于常考题.

7．若，则有（    ）

A．最小值 B．最小值

C．最大值 D．最大值

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得结论.

【详解】因为，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值.

故选：B.

8．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，利用等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】斗升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，

由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，

解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为

故选：D

9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则 的周长为（    ）

A．6 B．8 C． D．

【答案】C

【分析】根据三角形面积可得，结合余弦定理求得，继而求得，可得答案.

【详解】因为△ABC的面积为，，故，

即，

由于，

故，故 ，

所以，

所以的周长为 ，

故选：C

10．数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由递推关系，可求出的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出即可.

【详解】由，可得，

由，可得，，，，

由，可知数列是周期数列，周期为4，

所以.

故选：D.

11．在中，，BC边上的高等于,则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：设

,故选C.

【解析】解三角形.

12．已知数列满足，，则的最小值为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】B

【分析】根据累积法求出的通项公式，再根据基本不等式即可求出.

【详解】因为，所以，，，，累加得，，，，故，当且仅当时取等号．

故选：B．

二、填空题

13．若则目标函数的最小值为______．

【答案】2

【分析】作出可行域，目标函数转化为直线，数形结合求使直线纵截距取得最小值的点，代入目标函数即可.

【详解】作出可行域如图所示，

目标函数转化为直线，为直线的纵截距，

数形结合知当直线过点时纵截距取得最小值，此时z取得最小值2.

故答案为：2

【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.

14．已知在等比数列中，，则=_______．

【答案】

【解析】由等比数列的性质直接计算．

【详解】因为是等比数列，所以，又同号，所以．

故答案为：6．

15．已知2x＋y＝1，且x，y∈R＋，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】利用基本不等式可求的最小值.

【详解】因为，则.

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查基本不等式求最值，此类问题，一般可利用已知关系化简目标代数式，再利用基本不等式实现和、积的转化从而求得目标代数式的最值，注意“一正二定三相等”，本题属于基础题.

16．已知为的三个内角A，B，C的对边，向量，．若，且，则B=       

【答案】

【分析】根据得，再利用正弦定理得，化简得出角的大小。再根据三角形内角和即可得B.

【详解】根据题意,

由正弦定理可得

则

所以答案为。

【点睛】本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。

三、解答题

17．已知函数.

(1)当时，解不等式；

(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将不等式分解因式，即可求得不等式解集；

（2）根据不等式解集，考虑其对应二次函数的特征，即可求出参数的范围.

【详解】（1）当时，即，

也即，则，

解得或，

故不等式解集为.

（2）不等式的解集为，即的解集为，

也即的解集为，

故其对应二次函数的，

解得.

故实数的取值范围为：.

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．

（1）若，求c；

（2）求的大小．

【答案】（1）4；（2）．

【分析】（1）利用正弦定理将中的角化边，即可得解；

（2）结合（1）可得，代入可得，再利用余弦定理，得解．

【详解】（1）由正弦定理以及

可得．

（2）由（1）知，

∵，∴，∴，即，

由余弦定理知，．

19．已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项列方程组可求解.

（2）利用裂项求和法即可求解.

【详解】（1），，①

，，成等比数列，，

化简得，②

又因为

且由①②可得，，.

数列的通项公式是

（2）由（1）得，

所以.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

20．如图四边形是正方形，平面，平面，，

(1)求证:平面平面;

(2)若点为线段中点.证明:平面.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】（1）平面AMD内的直线MA，AD，分别平行平面BPC内的直线PB，BC，即可证明平面平面；

（2）连接AC，设AC∩BD＝F，连接EF，分别证明ME⊥PB，ME⊥BD，即可证明平面PBD.

【详解】证明：（1）因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，

所以PBMA.

因PB⊂平面BPC，MA不在平面BPC内，

所以MA平面BPC，同理DA平面BPC，

因为MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD＝A，

所以平面AMD平面BPC；

（2）连接AC，设AC∩BD＝F，连接EF.

因ABCD为正方形，所以F为BD中点.

因为E为PD中点，所以.因为，

所以，

所以AFEM为平行四边形.

所以MEAF.

因为PB⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，

所以PB⊥AF，

所以ME⊥PB，

因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，所以ME⊥BD，

所以ME⊥平面BDP.

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题.

21．已知数列{an}和{bn}满足，a1＝2，（n∈N*），bn＝n.

（1）求an；

（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由条件可知数列是等比数列，根据基本量求通项公式；（2）由（1）可知，根据错位相减法求和.

【详解】（1）由，，

可知是以2为首项，2为公比的等比数列，       

所以．                                  

（2）由（1）知，，                       

故                    ①

，     ②

①—② 得

所以．

22．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，其外接圆半径满足.

（1）求的大小；

（2）已知的面积，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.

（2）根据面积公式化简得到，根据角度范围得到值域.

【详解】（1）∵，∴，即，

∴，又为锐角，∴.

（2）∵的面积，

∴，∴，又，，

∴

由是锐角三角形得，

∴，∴，

∴，即的取值范围为.

【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，考查的核心素养是数学运算.