2021-2022学年河南省灵宝市第五高级中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省灵宝市第五高级中学高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放入袋中5回小球”的事件为(　　)

A．X=4 B．X=5

C．X=6 D．X≤4

【答案】C

【分析】“放入袋中回小球”也即是第次抽取到了红球，由此求得的值.

【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所有“放入袋中回小球”也即是前次都是抽到黑球，第六次抽到了红球，故，所以选C.

【点睛】本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查抽样方法的理解，属于基础题.

2．若，则整数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由排列数和组合数公式计算即可得到结果.

【详解】，，

整理可得：，解得：或或，

，.

故选：A.

3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有．

A．280种 B．240种 C．180种 D．96种

【答案】B

【详解】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，

有种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有种，

乙从事翻译工作的有种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，

则选派方案共有360-60-60=240种．

故选：B.

4．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（    ）

A．20 B．55 C．30 D．25

【答案】D

【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．

【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，

若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，

则有种不同的选取方案，

故选：D．

5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有

A．16种 B．18种 C．37种 D．48种

【答案】C

【分析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．

【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，

其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；

则符合条件的有种，

故选C．

【点睛】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．

6．已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】A

【分析】令，可求出，再写出的通项，再考虑展开式中的每一项与中的哪项之积为常数即可.

【详解】令，则，所以．

在中，的展开式的通项，

所以的展开式中的常数项为．

故选：A

【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．

7．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．

【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：

．

故选：D．

8．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【解析】直接利用枚举法写出所有的等比数列即可得到答案.

【详解】（2）以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；

以2为首项的等比数列为2，4，8；

以4为首项的等比数列为4，6，9；

把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，

∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个.

故选：D.

【点睛】本题考查了等比关系的确定，考查了学生观察问题的能力，是中档题.

9．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比2获胜，即前5局甲胜3局，最后一局甲胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．

【详解】解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．

记“甲以4比2获胜”为事件，

则．

故选：．

【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.

10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（    ）

A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生

C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生

【答案】A

【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项．

【详解】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有：

两男、两女、一男一女．

恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A正确；

至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B错误；

至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C错误；

至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D错误．

故选：A．

11．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值.

【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即，发球次数为2即二次发球成功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望

，依题意有，

即，解得或，结合p的实际意义，可得.

故选：C．

12．下列说法：

①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；

②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位；

③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；

④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，则位于区域内的概率为0.6；

⑤利用统计量来判断“两个事件的关系”时，算出的值越大，判断“与有关”的把握就越大

其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用统计的相关知识逐一分析判断即可.

【详解】逐一判断所给的说法：

①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍，原说法错误；

②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，原说法正确；

③线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，原说法错误；

④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，而位于区域内的概率为0.5，原说法错误；

⑤利用统计量来判断“两个事件的关系”时，算出的值越大，判断“与有关”的把握就越大，原说法正确.

故选：B.

二、填空题

13．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为________．

【答案】

【分析】利用正态分布的对称性求解即可

【详解】解：由题意，，则，

由，可得，

故累计时长超过50小时的人数大约有人．

故答案为：．

14．的展开式中，含项的系数为______．（用数字作答）

【答案】

【分析】的展开式的通项公式为,采取赋值法令和令，进一步求出答案.

【详解】的展开式的通项公式为，令得，令得，

∴的展开式中，的系数为,故答案为.

故答案为：.

【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，赋值法是解决二项展开式的系数和问题的工具，属于基础题型.

15．若的方差为2．则的方差为____________．

【答案】8

【分析】根据给定条件，利用方差的定义直接计算作答．

【详解】设的平均数为，则，

而的平均数为，

则其方差为．

故答案为：8．

16．某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为

，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3为有效数字）本题用到参考数据如下：，

.

【答案】

【分析】利用图象求出，利用参考数据计算，再利用对称性即可得出答案.

【详解】由图像可知，所以，

即；又，

即，

故结合图形可知，

故答案为：．

三、解答题

17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.

（1）求C的普通方程和l的倾斜角；

（2）设点，l和C交于A，B两点，求.

【答案】(1) ..  (2) .

【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.

（2）判断点在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.

【详解】（1）消去参数α得，

即C的普通方程为.

由，得，（*）

将，代入（*），化简得，

所以直线l的倾斜角为.

（2）由（1），知点在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数），

代入并化简，得，

，

设A，B两点对应的参数分别为，，

则，，

所以，，所以.

【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.

18．在二项式的展开式中，

（1）若所有二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．

（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．

【答案】（1）;（2） .

【详解】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为， ，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令计算的大小，即可得答案.

试题解析：（1）由已知得， ，

展开式中二项式系数最大的项是

（2）展开式的通项为，                           

由已知：成等差数列，∴n=8,   

在中令x=1，得各项系数和为          

19．设.求：

(1) ；

(2) .

【答案】（1）255；（2）32896

【详解】试题分析：（1）令，求得，再令，即可求解的值；

（2）由（1），再令，即可求解的值.

试题解析：

令，得.

(1)令得，①

∴.

(2)令得.②

①＋②得，

∴.

20．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．

（注：方差，其中为，，…… 的平均数）

【答案】（Ⅰ）平均数为 方差为

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=

同理可得

所以随机变量Y的分布列为：

==19

【分析】（Ⅰ）当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10.

所以平均数为＝ ；

方差s2＝＋ ＋＋ ＝.

（Ⅱ）当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.

事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果．

因此P(Y＝17)＝＝.

同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，

P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝ .

所以随机变量Y的分布列为

E(Y)＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)

＝17×＋18× ＋19×＋20× ＋21×＝19.

21．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：

（1）判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？

（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为，求的分布列、数学期望.

（参考公式：，其中）

【答案】（1）有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）见解析

【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；

（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．

【详解】（1）由公式，所以有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.

（2）随机变量可能取得值为0，1，2，3.

∴，

，

，

，

∴的分布列为

则.

【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

22．某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图：

（1）由图可以看出，这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；

（2）求关于的线性回归方程，并预测当温度为时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确到0.01）

参考数据：，，，.

参考公式：相关系数.

回归直线方程，，.

【答案】（1）详见解析（2）线性回归方程为；预测当温度为时，这种酶的活性指标值为13.22

【解析】（1）根据题中所给数据，利用公式求得，非常接近1，从而得到酶的活性与温度具有较强的线性关系；

（2）根据公式求得关于的线性回归方程为，将代入回归方程，即可求得结果.

【详解】解：（1）由题可知，，

，

则，

因为非常接近1，所以酶的活性与温度具有较强的线性相关性.

（2）由题可知，，

，

，

所以关于的线性回归方程为，

当时，.

故预测当温度为时，这种酶的活性指标值为13.22.

【点睛】本题考查线性回归分析，线性相关关系的判断以及求线性回归方程，正确利用公式是解题的关键，考查计算能力.