2021-2022学年河南省新乡市第十一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省新乡市第十一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则中元素的个数是（        ）

A．2 B．3 C．4 D．无数个

【答案】C

【分析】根据集合的并集运算即可求解.

【详解】

，故中元素的个数是4

故选：C

2．若复数z满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可；

【详解】解：因为，所以，所以；

故选：C

3．已知命题；命题，则下列为真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断命题的真假，结合选项可得答案.

【详解】因为当时，，所以为假命题；

因为当时，，所以为真命题；

所以为真命题.

故选：B.

4．若曲线在点处的切线的斜率为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据求解即可.

【详解】根据题意得：，所以，解得.

故选：A.

5．双曲线的一条渐近线为，则其焦距为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】由双曲线渐近线方程和的关系计算即可.

【详解】由题易知，而，所以，焦距．

故选：D．

6．函数的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）

A．y＝f(x)的递增区间为，k∈Z

B．

C．成立的区间可以为

D．y＝f(x)其中一条对称轴为

【答案】C

【分析】根据函数图象，应用五点法求得，结合余弦型函数的性质求单调区间、解不等式判断A、B、C，代入法判断对称轴.

【详解】由题设，，则，故，

若，则，

由，则，，

由，满足要求，不妨设，

所以；

若，则，

由，则，，

由，满足要求，不妨设，则.

综上，，B错误；

令，，可得，，

所以递增区间为，，A错误；

，则，，

所以，，当有，C正确；

，故不是对称轴，D错误.

故选：C

7．展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数后代入通项即可得解.

【详解】的展开式通项为，

因为，

在中，令，可得，

在中，令，可得，

因此，展开式中的系数为.

故选：B.

8．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

9．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D，再利用特殊值排除选项A、C.

【详解】因为的定义域为，

且，

所以为偶函数，其图象关于轴对称，

故排除选项D；

又，所以排除选项A；

又，所以排除选项C.

故选：B．

10．已知，在中任取一点，则事件“”发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用几何概型的面积类型即可求出答案.

【详解】如图，表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部的区域，其面积为，事件“”表示点，落在为顶点得正方形及其内部，其面积为，故概率为：.

故选：C.

11．已知一组数据的平均数为，标准差为.若的平均数与方差相等，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平均数和方差的定义以及题目所给的条件，求出 与 的关系表达式，将 看作关于 的函数，求函数最大值即可.

【详解】由题意可得，则.因为，所以，解得.

令，

设，则，

从而 ，；

故选：A.

12．已知，，，则它们的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数可证，又，可得，即可证．

【详解】解：由

令，则，

当，；当，；

所以在上单调递增，在上单调递减，且

则，因此，所以

又因为，所以，得

故，有.

综上，.

故选：B

二、填空题

13．已知向量，且，则________．

【答案】4

【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】解：因为向量，且，

所以，解得

故答案为：

14．“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．

【答案】

【分析】由于《诗经》、《春秋》分开排，先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，然后再把《诗经》、《春秋》插入到4个空位中即可得到答案

【详解】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有种排法

再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有种排法

所以满足条件的情形共有种．

故答案为：

15．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．

【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式

由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，

因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

故答案为：.

［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式

由三角形内角平分线性质得向量式．

因为，所以，化简得，即，亦即，

所以，

当且仅当，即时取等号．

［方法三］：解析法＋基本不等式

如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．

下同方法一．

［方法四］：角平分线定理＋基本不等式

在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．

［方法五］：正弦定理＋基本不等式

在与中，由正弦定理得．

在中，由正弦定理得．

所以，由正弦定理得，即，下同方法一．

［方法六］： 相似＋基本不等式

如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．

由，得，即，从而．下同方法一．

【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；

方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；

方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；

方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；

方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；

方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．

16．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为___________．

【答案】

【分析】先由三角形面积公式及正弦定理求得外接圆半径，再由球的表面积求出球的半径，由勾股定理计算距离即可.

【详解】

设的边长为，外接圆半径为，则，解得，由正弦定理可得，解得.

设球O的半径为，则，解得，则球心O到平面的距离为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知等比数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设数列的公比为q，然后由已知条件列方程求出，从而可求出通项公式，

（2）由（1）可得，从而得，然后利用错位相减法求

【详解】（1）设数列的公比为q，由，，

得，解得，

所以；

（2）由（1）可得，所以，

，

，

所以，

所以.

18．如图，在四棱锥中，，，，，，，，．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）过点作，交于点，过点作且，证明出平面，然后以点为空间直角坐标系原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）证明：因为，，，所以，则，

又，，所以平面，                    

平面，所以，

又，，所以平面．

（2）解：过点作，交于点，过点作且，

平面，平面，则，

且，故平面，

以点为空间直角坐标系原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

平面，平面，则，

，，则，所以，且，

，则，

则、、，，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

易知平面的一个法向量为，

所以，，

则，

因此，二面角的正弦值为.

19．2022年2月4日，第24届北京冬奥会在国家体育馆隆重开幕，本届冬奥会吸引了全球91个国家和地区的2892名冰雪健儿前来参赛.各国冰雪运动健儿在“一起向未来”的愿景中，共同诠释“更快、更高、更强、更团结”的奥林匹克新格言，创造了一项又一项优异成绩，中国队9金4银2铜收官，位列金牌榜第三，金牌数和奖牌数均创历史新高.中国健儿在赛场上努力拼搏，激发了全国人民参与冰雪运动的热情，憨态可掬的外貌加上富有超能量的冰晶外壳的吉祥物“冰墩墩”备受大家喜爱.某商场举行“玩摸球游戏，领奥运礼品”的促销活动，活动规定：顾客在该商场一次性消费满300元以上即可参加摸球游戏.摸球游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有10个大小相同、四种不同颜色的小球，其中白色、红色、蓝色、绿色小球分别有1个、2个、3个、4个，每个小球上都标有数字代表其分值，白色小球上标30、红色小球上标20、蓝色小球上标10、绿色小球上标5.摸球时一次只能摸一个，摸后不放回.若第一次摸到蓝色或绿色小球，游戏结束，不能领取奥运礼品；若第1次摸到白色小球或红色小球，可再摸2次.若摸到球的总分不低于袋子中剩下球的总分，则可免费领取奥运礼品.

(1)求参加摸球游戏的顾客甲能免费领取奥运礼品的概率；

(2)已知顾客乙在第一次摸球中摸到红色小球，设其摸球所得总分为X，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）分甲第一次摸到白球或者红球两种情况讨论，利用互斥事件的概率和古典概型的概率公式求解；

（2）由条件可知，再求出对应的概率即得解.

【详解】（1）解：因所有小球的总分为120分，若甲第1次摸到白球，再摸两个球的颜色若都是红色，或者一红一蓝即可领取奥运礼品，其概率为；

若甲第1次摸到红球，再摸2个球的颜色若是一白一红，一白一蓝即可领取奥运礼品，其概率为；                           

所以顾客甲能免费领取奥运礼品的概率为.

（2）解：由条件可知，

，，

，，

，，

，，

于是的分布列为：

其数学期望为

.

20．已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．

(1)求该抛物线的方程；

(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；最小值为64，此时直线l的方程为

【分析】（1）先求出椭圆的焦点，从而可求得的值，求出，进而可得抛物线的方程，

（2）由题意可得直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，设，，将直线方程代入抛物线方程中消去，利用根与系数的关系，利用导数的几何意义求出切线的方程，联立求出点的坐标，则利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用弦长公式求出，从而可表示出的面积，进而可求出其最小值

【详解】（1）由椭圆，知．

又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．

所以，则．

所以抛物线的方程为．

（2）由抛物线方程知，焦点．

易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．

由消去y并整理，得．．

设，，则，．

对求导，得，

∴直线AP的斜率，

则直线AP的方程为，即．

同理得直线BP的方程为．

设点，联立直线AP与BP的方程，

即．

，点P到直线AB的距离，

所以的面积，

当且仅当时等号成立．

所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为．

21．已知函数．

（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

【答案】(1)a=；增区间为，减区间为．(2)证明见解析.

【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间；

（2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果.

【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且，

由解得：；由解得：，

所以的增区间为，减区间为．

（2）［方法一］：【最优解】放缩法

当时，.

设，则.

当时，；

当时，.所以是的最小值点.

故当时，.因此，当时，.

［方法二］：【通性通法】隐零点讨论

因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以．

设，则．

所以在区间内单调递减，故，即成立．

［方法三］：分离参数求最值

要证时，即，则证成立．

令，则．

令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减．

所以，而，所以恒成立，原命题得证．

［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式

，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以．

由，得．

．

当且仅当，即时，，所以．

［方法五］：异构

要证明，即证，

即证明，再证明即可．

令，．

设，则．

若时，在上恒成立，所以；

若时，当时；当时，．

所以为的极小值点，则．

因为，所以，所以．

令．

当时，；当时，，所以为的极小值点．

则，所以，即．

所以．

［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数

．

令，则．

令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立．

【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解；

方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法；

方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法；

方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样；

方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐；

方法六：基本类似于方法三．

22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．

【答案】(1)见解析;(2)8.

【分析】（1）参数方程化为普通方程可得直线的普通方程为；极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；

（2）由题意可得直线的参数方程为．联立直线的参数方程与抛物线的直角坐标方程，结合参数的几何意义可得．

【详解】（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即；

即，

转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；

（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．

∴，直线的倾斜角．

∴直线的参数方程为．

代入，得．

设，两点对应的参数为，，则，

∴．

【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.