2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“，使得”的否定是（ ）
A．“，使得”
B．“，使得”
C．“，使得”
D．“，使得”
【答案】C
【分析】利用特称命题的否定为全称命题即可．
【详解】命题“，使得”的否定是“，使得”．
故选：C．
【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属基础题．
2．“”是“方程表示椭圆”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.
【详解】方程表示椭圆，即且
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件
故选C
【点睛】本题考查了椭圆的概念与简易逻辑用语，易错点为椭圆中，属于较为基础题.
3．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，根据与的关系，得出是首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由数列的前项和，
当时，可得，所以；
当时，，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，，所以.
故选：B.
4．若关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据不等式及解集,可得,将不等式化简后,结合穿根法即可求得解集.
【详解】关于的不等式
变形可得,因为其解集为
所以,且
关于的不等式变形可得
即,所以
因为,不等式可化为
可化为
利用穿根法可得或
即
故选:C
【点睛】本题考查了含参数的不等式解法,注意不等式的符号变化,属于中档题.
5．若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
A．8B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点，即可列出关于的方程，求解即可.
【详解】抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，
，解得：.
故选：D
6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：设中间角为,那么，即,那么最大角和最小角的和为，故选D.
【解析】余弦定理
7．设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据条件和等差数列通项公式,用表示出,结合等差数列的前n项和公式即可表示出.由二次函数的性质即可求得取最大值时的值.
【详解】由可得
由等差数列通项公式可得
可得
由等差数列的前n项和可知
由二次函数性质可知当时取得最大值
故选:C
【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n项和公式的应用,二次函数性质的应用,属于中档题.
8．已知为抛物线，F是其焦点，点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】把转化为到准线的距离，然后由三点共线得最小值．
【详解】因为抛物线方程，所以其准线方程是，焦点，
过作垂直于准线，垂足为，则，所以，
当，，三点共线时，最小，最小值，
故的最小值为6.
故选：D．
9．已知：，且，则取到最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据，且，利用“1”的代换，将转化为，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当 ，即时，取等号，
所以，
故选：B
10．已知命题：已知，，若是递增数列，则；命题：若，则的最小值是4，则下列命题是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据递增数列的性质可判断命题的真假，再根据基本不等式及其取等号的条件判断命题，进而判断各选项.
【详解】要使数列是递增数列，必须有，也即，解得：，
故命题为假命题；因为，所以，则有当且仅当，即时取等号，因为， ，故等号条件不成立，也即，所以命题为假命题，则命题为真命题，
故选：.
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解离心率，结合，，求解，结合余弦定理求解，再利用向量数量积的公式即得解
【详解】由题意得，双曲线，
故
在中，由正弦定理得，，
又因为,结合这两个条件得，,
由余弦定理
故选：B．
12．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
二、填空题
13．在中，若，，，则___________.
【答案】
【分析】利用余弦定理即可求解
【详解】因为，，，
所以由余弦定理可得即，
整理得，解得（负值舍去）
故答案为：
14．已知实数、满足，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】作出可行域，平移直线，找出使得直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立可得，即点，
平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，
此时取最大值，即.
故答案为：.
15．已知数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】根据递推公式可得：，进而得到数列是首项为1，公差为3的等差数列，利用等差数列的通项公式进而求解.
【详解】因为数列满足，
则，所以数列是首项为，公差为3的等差数列，
则有，所以，
故答案为：.
16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点.若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据双曲线中，从而可得，即可求离心率范围.
【详解】
如图所示，，所以，所以，
又因为，即，即，
所以离心率，
所以双曲线的离心率的取值范围为，
故答案为: .
三、解答题
17．设：实数满足，其中，：实数满足.
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，化简命题p，q，根据为真，由和均为真求解；
（2）根据是的充分不必要条件，由中不等式的解集是中不等式解集的真子集求解.
【详解】（1）解：时，对于，
解得.
对于，得，
所以.
若为真，即和均为真，
故实数的取值范围是.
（2）若是的充分不必要条件，
则中不等式的解集是中不等式解集的真子集.
由（1）知中不等式的解集为，
对于：实数满足，
所以.
由题意，所以，
所以，
所以.即实数的取值范围是.
18．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【答案】（1）10或22；（2）.
【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求B.
(2)若，，求a，c.
【答案】(1)
(2),.
【分析】(1)根据正弦定理边化角即可求解；
(2)根据余弦定理和正弦定理角化边即可求解.
【详解】（1）由边化角可得，
因为，
所以，
化简得，
因为,所以,所以，
又因为，所以.
（2）由可得，
又由余弦定理得，
所以解得，所以.
20．在数列中，，，点都在直线上.
(1)求数列的通项公式.
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，然后根据题意列方程组求出，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求出.
【详解】（1）由题意得，
所以，
解得.所以.
（2）由（1）知，所以，
，
，
两式相减得
所以.
即数列的前项和.
21．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.
【答案】(1)；(2)是，.
【解析】（1）根据抛物线定义,即可求得,进而得抛物线方程.
（2）设出直线方程,联立抛物线,设出点坐标,将点带入抛物线方程,结合平面向量数量积的坐标运算即可求得所过定点的坐标.
【详解】（1）由抛物线的定义知,
,
抛物线的方程为：
（2）设的方程为：,
代入有,
设,,
则,
,
的方程为,恒过点.
【点睛】本题考查根据抛物线定义求抛物线方程,直线与抛物线的位置关系,平面向量数量积定义,直线过定点的求法,属于基础题.
22．已知椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为.
(1)求，的值；
(2)若是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求面积的最大值.
【答案】(1),.
(2)1
【分析】（1）根据椭圆的关系以及离心率的公式求解；
（2）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，进而利用基本不等式求最大值.
【详解】（1）椭圆的上顶点到焦点的距离为，
又因为离心率，解得，
所以，即.
（2）由（1）可得椭圆方程为，
设，，
若，则直线方程为，
联立直线和椭圆方程，化简得，
从而有，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
，
当且仅当，即，满足，
所以此时三角形有最大面积为1.