2021-2022学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高二上学期12月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知曲线，关于曲线的四个结论：

①若曲线表示双曲线，则；②曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上；

③若曲线表示椭圆，则；④曲线可能表示圆.

其中所有正确的编号为（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

【答案】B

【分析】根据双曲线、椭圆和圆的标准方程的特征讨论k的范围，进而得到答案.

【详解】对①，若曲线表示双曲线，则，正确；

对②，因为，若曲线C表示椭圆，则，则焦点在x轴上，若曲线C表示双曲线，由①，，此时，焦点在x轴上，所以曲线的焦点不可能在y轴上，错误；

由②可知，③正确；

由②可知，，④错误.

故选：B.

2．已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.

【详解】解：由椭圆得，，所以，

所以右焦点坐标为，则直线的方程为，

设，

联立，消y得，，

则，

所以.

即弦长为.

故选：C.

3．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求得双曲线的焦点和顶点坐标求解.

【详解】双曲线的焦点坐标为，

顶点坐标为，

由题意得：椭圆的焦点为，

顶点坐标为，

所以椭圆的方程是，

故选：C.

4．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　）

A．=1 B．=1 C．=1 D．=1

【答案】B

【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.

【详解】椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得c=3，

又双曲线C：=1的离心率为，

所以，即a=2，

所以b=，

故所求的双曲线方程为=1.

故选：B.

5．已知点F是抛物线的焦点，点P为抛物线上的任意一点，M(1，2)为平面上点，则的最小值为（    ）

A． B．12 C．9 D．6

【答案】A

【分析】根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得，故到准线的距离）为所求．

【详解】抛物线标准方程，，焦点，准线方程为．

设到准线的距离为，（即垂直于准线，为垂足），如图，

则，

（当且仅当、、共线时取等号），

故选：A

6．抛物线的准线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；

【详解】解：因为抛物线方程为，即，所以，即，所以抛物线的准线为

故选：C

7．若抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则k的值为（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】求出椭圆的焦点坐标，得抛物线准线方程，从而得值．

【详解】由椭圆方程有，焦点为和，

所以抛物线的准线方程为或，

若准线方程是，则，若准线方程是，则．

故选：B．

8．已知， 则“”是“曲线表示椭圆”的 （    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】求出方程表示椭圆的充要条件，然后根据充分必要条件的定义判断．

【详解】方程表示椭圆，则，解得且，

因此是曲线表示椭圆的既不充分也不必要的条件．

故选：D．

9．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（    ）

A．16 B．32 C．8 D．4

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义即可得结果.

【详解】，，，

∴的周长为.

故选：A.

10．双曲线=1与有相同的（   ）

A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对

【答案】C

【分析】根据双曲线的几何性质即可得到答案.

【详解】当时，容易判断与的实轴和焦点均不同，即A,B错误.

下面判断渐近线.

易知，现在仅讨论时的情况，其它情况同理.

的渐近线为：，

若，则，则渐近线方程为：，

若，则，则渐近线方程为：.

于是，C正确，同时D错误.

故选：C.

11．设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】双曲线的实轴长为，渐近线方程为，代入解析式即可得到结果.

【详解】双曲线的实轴长为8，即，，

渐近线方程为，进而得到双曲线方程为.

故选：D.

12．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（       ）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出．

【详解】设，.由，的面积为，

可得，∴①

由离心率为，可得，代入①式，可得.

故选：D.

二、填空题

13．过抛物线内一点作弦，若为的中点，则直线的方程为______．

【答案】

【分析】设，，代入抛物线方程相减可得直线的斜率，从而得直线方程．

【详解】设，，则．

又①，②，

②-①得，

所以，即直线的斜率是1，

所以直线的方程为，即．

故答案为：．

14．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为_______

【答案】

【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解.

【详解】因为焦点在x轴上的椭圆，

所以

因为直线过定点，且直线与椭圆总有公共点，

所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，

即

解得，

综上，

故答案为：

15．已知点，，.设点满足，且为函数图象上的点，则_____.

【答案】

【分析】根据双曲线的定义求出点的轨迹方程与联立求出点的坐标，再由两点间距离公式即可求解.

【详解】因为，，所以，

因为，

所以点在以，为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，

由，可得，

所以点的轨迹方程为：，

而点为函数图象上的点，

由解得：，即，

所以，

故答案为：.

16．若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为________．

【答案】或##或

【分析】根据已知条件求得或，由此求得双曲线的离心率.

【详解】当时，离心率为，

当时，离心率为，

当时，离心率为，

当时，离心率为.

所以双曲线的离心率为：或.

故答案为：或

三、解答题

17．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：和圆F：都外切.

(1)求圆心M的轨迹方程C；

(2)已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可得，即可得的轨迹是以为焦点，的双曲线的右支，即可得出结果.

（2）设，A（8，0）,则,利用二次函数的性质即可求得最小值.

【详解】（1）动圆M与圆E：和圆F：都外切，

设圆半径为，则，,

,

所以的轨迹是以为焦点，的双曲线的右支，

即.

（2）设，A（8，0）,则，

所以，且，

所以，

当时，.

18．已知抛物线，坐标原点为O，焦点为F，直线．

(1)若l与C只有一个公共点，求k的值；

(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，点，若的面积等于，求直线的方程．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立消去x，讨论或，使方程只有一个根或两个相等实根即可.

（2）求出抛物线的焦点，设直线方程为，利用韦达定理求出，再由三角形的面积即可求解.

【详解】（1）（1）依题意，消去x得，

①当时，显然方程只有一个解，满足条件；

②当时，，解得；

综上，当或时直线与抛物线只有一个交点．

（2）抛物线，所以焦点，显然斜率不等于0，

设直线方程为，设，，

由，消去x得，

所以，，

所以，

因为，

所以，，

∴，直线的方程为．

19．已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点．当点异于、时，直线、的斜率分别为、，则是否为定值？请说明理由；

【答案】定值为，理由见解析

【分析】设点，可得出，利用斜率公式可求得结果.

【详解】由椭圆的方程及题意可得、，设，

因为在椭圆上，所以，所以，

则，

所以是为定值，且定值为.

20．已知圆锥曲线上的点的坐标满足．

(1)说明是什么图形，并写出其标准方程；

(2)若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，求直线在轴上的截距的取值范围．

【答案】(1)圆锥曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆，

(2)

【分析】（1）由平面上两点间距离公式及椭圆的定义即得；

（2）由题可设直线：，联立椭圆的方程，利用韦达定理可得，即求.

【详解】（1）由题可知点到定点，的距离之和为，

∴圆锥曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆，

所以其标准方程为.

（2）设直线：，，，

由，消去，得，

由题意，有，解得，

所以直线在轴上的截距的取值范围为.

21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点与双曲线的右焦点重合.

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线：与抛物线交于A，B两点，，求k的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意首先将双曲线方程化为标准形式，然后确定其焦点坐标，最后确定抛物线方程即可；

（2）联立直线方程和抛物线方程，结合弦长公式得到斜率的方程，解方程即可求得实数的值.

【详解】（1）解：双曲线方程即：，

则，∴，右焦点坐标为，

则抛物线的焦点坐标为，其标准方程为.

（2）解：联立直线方程与抛物线方程可得：，

设，，则，，

易知直线恒过定点，即直线恒过抛物线的焦点，

由抛物线的弦长公式可得：，∴，

即：，∴，∴.

22．已知双曲线C：（a＞b＞0）的离心率e=，其虚轴长为2

(1)求C的方程

(2)若过点M（0，3）的直线l交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用待定系数法求标准方程；

（2）先设出直线方程，与双曲线方程联立，用“设而不求法”表示出，求出斜率看，即可求出直线方程.

【详解】（1）由题意可得：，解得：，

所以双曲线C：.

（2）由题意可知直线l的斜率存在，可设直线的斜率为k，直线l：.

设则有：，消去y可得：

，

则，解得：.

又

且，.

故

因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以，

即，解得：.

故直线l的方程为：