2021-2022学年上海市格致中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市格致中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市格致中学高二上学期10月月考数学试题 一、填空题1．的虚部是_____．【答案】【分析】利用复数的概念求解.【详解】解：因为复数为，所以其虚部是，故答案为：2．如果，那么________．【答案】【分析】条件和要求的式子分别先运用诱导公式化简，然后再代值即可.【详解】由，而．故答案为：.3．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的，已知，，则AB边的实际长度是______.【答案】10【详解】由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝.点睛：1.用斜二测法得直观图：“保平行，横不变，纵减半”是画图的标准；2.平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S原，它的斜二测画法直观图的面积为S直，则有S直＝S原(或S原＝2S直).4．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且，则________.【答案】【分析】由题设可得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，圆的半径为，且，可得，∴.故答案为：.5．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角为______．【答案】【分析】连接，由可得是异面直线与所成角，在中由余弦定理可得答案.【详解】连接，因为，可得是异面直线与所成角，又，，由余弦定理得，故异面直线和所成角为．故答案为：．6．过长方体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．【答案】12【详解】试题分析：在平面的一侧，、、、的中点分别为E、F、G、H，则可得到平面，所以EF、FG、GH、HE、EG都是平面EFGH的直线，所以他们都与面平行，共六条，同理，平面的另一侧也有六条直线与平面平行，共有12条．【解析】直线与平面的位置关系．7．在四面体中，，且棱与所成的角为，点，分别是，的中点，则______．【答案】或【分析】中点，连接，，在中利用余弦定理解三角形，得的长.【详解】取中点，连接，，因为，分别为和的中点，所以和分别是和的中位线所以平行且等于，平行且等于，所以，，因为与成角，所以或，由余弦定理得，所以，或，所以或．8．如图，已知AB是平面α的一条斜线，B为斜足，，O为垂足，BC为α内的一条直线，，，则斜线AB和平面α所成角是___________.【答案】【分析】过作于，连接，则可证，设，则利用特殊角的性质得出，.从而求得，即可得解.【详解】过作于，连接，如图所示：因为，，所以，又，，所以平面AOD，因为平面AOD，所以.设，因为，，所以，.所以在中，，即.因为，所以为与平面所成的角.所以与平面所成的角为.故答案为：.9．二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为________．【答案】【分析】利用向量运算表示,结合条件的垂直关系和长度关系可求.【详解】由条件，知，，.∴.∴，又∵，∴，∴二面角的大小为.故答案为：.【点睛】本题主要考查二面角的求解，二面角大小的求解首选向量法，明确向量夹角与二面角之间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知棱长为1的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且．设与所成的角为，与所成的角为，则的最小值为_____．【答案】【分析】在上取，找出与、相等的角，进而根据三角形全等证得.在中，可求，所以，即可得出答案.【详解】在上取，使、，连接、.因为，，所以四边形是平行四边形，所以，且，所以即为与所成的角，即，同理可得，，.由已知可得，平面，平面，所以，又，所以，所以为直角三角形.同理可得，为直角三角形.由，，可得≌，所以，即．又在中，，.则在中，有，所以，因此．故答案为：.11．如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是_______．【答案】【分析】把平面沿着展开与在同一平面上，利用余弦定理进行求解即可.【详解】把平面沿着展开与在同一平面上，连接，则的最小值是，因为，三棱柱是直三棱柱，，，，因为，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，故的最小值是.故答案为：12．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是侧面 内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最小时，记过点的平面截正方体所得到的截面为，所有的面积组成的集合记为，则_______．【答案】【分析】取为 中点，为中点，进而证明平面平面，故在上，再根据直线与平面所成角的正弦值为得与 重合时，直线与平面所成角最小，再分别讨论的两种位置情况即可得答案.【详解】取为 中点，为中点，如图，由正方体的性质得，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；由中位线性质得：，又因为，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面，所以在上，又因为直线与平面所成角为，，所以当最大时，直线与平面所成角最小，即与 重合时，直线与平面所成角最小，当与 重合时，过点的平面截正方体所得到的截面为四边形，其面积为；当与重合时，过点的平面截正方体所得到的截面为梯形，该梯形为等腰梯形，上底为，下底为，腰为，其面积为；故．故答案为：【点睛】本题考查线面所成角，面面平行的判定，正方体中的截面问题，考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意寻找在平面内的轨迹，进而根据线面角的概念求解. 二、单选题13．设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要的条件C．必要不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件【答案】C【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】若，，当时，直线可以与平面平行，此时，不能推出，若，是平面内两条不同的直线，则，，所以“，”是“”的必要不充分的条件.故选：C14．关于直角在定平面内的射影有如下判断：①可能是的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是的角；其中正确判断的个数是（    ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】结合直角的各种位置由投影的概念判断．【详解】直角在定平面内的射影有下列几种情况：当角所在的平面与平面垂直时，直角的射影可能是的角，可能是的角，如图1，图2，故①⑤正确；直角在平面内，，则直角在定平面内的射影是直角，如图3，故③正确；当角所在的平面与平面不平行也不垂直时，平面（或角）转到一定程度，直角的射影可能是锐角或钝角如图4图5，，故②④正确． 故选：A．15．已知平面，B，，，且，，且，则下列叙述错误的是（    ）A．直线与是异面直线B．直线在上的射影可能与平行C．过有且只有一个平面与平行D．过有且只有一个平面与垂直【答案】D【分析】利用反证法判断选项正确；举例说明选项正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项错误．【详解】对于选项，若直线与是共面直线，设与共面，不共线的三点，，均在与内，与重合，又不共线的三点，，均在与内，与重合，则与重合，与矛盾，故直线与是异面直线，所以选项正确；对于选项，当，，且二面角为锐二面角时，直线在上的射影与平行，所以选项正确；对于选项，在上任取一点，过该点作的平行线，则由与确定一个平面，该平面与平行，若过另外有平面与平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线外的一点有两条直线与平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项正确；对于选项，只有当与异面垂直时，过有且只有一个平面与，否则，不存在过与垂直的平面，故选项错误．故选：D．【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（    ）A．265米 B．279米 C．292米 D．306米【答案】C【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．【详解】如图所示，△ABC中，AB＝1000，∠ACB＝21°+39°＝60°，∠ABC＝90°﹣39°＝51°；由正弦定理得，，所以AC；Rt△ACD中，∠CAD＝18°，所以CD＝AC•tan18°tan18°0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题． 三、解答题17．已知向量，．（1）若与平行，求的值；（2）若与垂直，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量平行的坐标表示计算可得结果；（2）根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.【详解】（1）因为向量，，所以，，因为与平行，所以，即，所以.（2）因为向量，，所以，，因为与垂直，所以，所以，解得.18．如图所示，有矩形所在平面外一点，平面，，，，为的中点．（1）求点到平面的距离；（2）探究在直线上是否存在点，使得面？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）求出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得到平面的距离；（2）分别取、的中点、，连接、、，证明出四边形为平行四边形，可得出，延长至点，使得，利用中位线的性质得出，进而得出，利用线面平行的判定定理可得出面，并求出此时的长，即可得出结论.【详解】（1）如下图所示，连接，为的中点，则，且平面，故，平面，、平面，则，，由勾股定理可得，，，，所以，，故，所以，，故，解得；（2）分别取、的中点、，连接、、，、分别为、的中点，则且，因为四边形为矩形，则且，为的中点，则且，故且，所以，四边形为平行四边形，所以，，延长至点，使得，则为的中点，又因为为的中点，故，，因为平面，平面，故平面，此时.19．如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，与交于点，，，，.（1）求直线与所成角的正弦值；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用，将所求角转化为，然后在中求的正弦值；(2)先证明平面，再过点作，垂足为，连接，再证明是二面角的平面角，最后在中求的正切值.【详解】(1)因为斜三棱柱，所以，所以就是直线与所成角，又侧面为菱形，所以，因为，，所以，，在直角中，，所以，故直线与所成角的正弦值为.(2)由(1)知，因为为斜三棱柱，所以，又，所以，又，平面，，所以平面，有平面.过点作，垂足为，连接.由于平面，平面，故，又，，平面，，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角， 在中，因为，所以，又平面，平面，故，在中，，即二面角的正切值为.20．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，(1)求证：平面(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值(3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.【答案】(1)证明见解析(2)(3)3种，． 【分析】（1）取的中点，连接，证明，得，再得与垂直后可得证线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角，从而可得值；（3）把直棱柱的各面拼接成四边形后可得，然后计算各个表面积，比较可得．【详解】（1）取的中点，连接，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，且，所以，所以，所以，又因为，所以．因为侧棱底面，平面，所以，因为，平面，所以平面．（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则．所以，，．设平面的一个法向量为，则，取，则，．所以．设与平面所成角为，则，解得，故所求．（3）由题意可以左侧面重合拼接，或右侧面重合拼接，或侧面重合拼接（这是五棱柱，舍去），或上、下底分别拼成一个平行四边形或一个矩形（与左右侧面重合拼接相同），也可以上下底面重合拼接，共3种方案，，，，，，四棱柱的全面积是，左侧面重合拼接，，右侧面重合拼接，，上下底面重合拼接，，，，，，所以．