2021-2022学年上海市市北中学高二上期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市市北中学高二上期末数学试题

一、填空题（本大题满分30分，本大题共有10题）

1.直线的倾斜角为　　．

【解析】直线的斜率，则倾斜角为.

2.设直线的一个方向向量，平面的一个法向量则直线与平面的位置关系为　　．

【解析】因为，所以．

所以直线与平面的位置关系是直线在平面内或平行于平面．

3.正方体,棱长为，则棱所在直线与直线间的距离为　　．

【解析】取中点，则是异面直线和的公垂线，.

4.正方体中，为中点，则所成的角为　　．

【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为2，

则，，

设异面直线与所成角为，

则，所以所成的角为．

5.在三棱锥中和都是边长为的正三角形，二面角的大小为，当_____时，该三棱锥的全面积最大.

【解析】取中点，连接，则和都是正三角形，

是二面角的平面角，，

又，且当时，和面积最大，

此时，在中，由余弦定理得

当时，该三棱锥的全面积最大.

6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是

，则该四面体的体积为　　．

【解析】满足条件的四面体为正方体的内接正四面体．

所以该四面体的体积．

7.某校从高二年级期中考试的学生中抽取60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，现从成绩70分以上的学生中任选两人，则他们的分数在同一分数段的概率为　　．

【解析】由频率分布直方图得，分数在上的有，

分数在上的有，

分数在上的有，

分数在上的有人，

则他们的分数在同一分数段的概率．

8.如图，在棱长为2的正方体中，点是平面上一动点，且满足，则满足条件的所有点所围成的平面区域的面积是　　．

【解析】法一：如图，以的交点为原点，为轴，轴，

垂直平面于的直线为轴建立坐标系，

此时，设，

，

，

所以点运动轨迹为圆，所以.

法二：在平面中，满足的轨迹为一个圆，在空间中自然是一个球；

又规定点是平面上一动点，

所以的轨迹为平面与该球的截面即小圆，

设球心为，球的半径为，

在平面中，小圆的圆心为，半径为，

则，得，则，

所以.

法三：, 在空间中，其轨迹是以为直径的一个球，

而在平面上的截面为圆，我们可以抽象出这个球如下右图所示，

很显然，球的半径，

球心到平面的距离为的中点到平面的距离，

所以截面圆的半径满足,

所以.

9.气象意义上从春季进入夏季的标志为:连续5天的日平均温度均不低于22度，现有甲，乙，丙三地的连续5天日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)

甲:5个数据的中位数为24，众数为22;

乙:5个数据的中位数为27,平均值为24;

丙:5个数据中有一个数据是32，平均值为26，方差为10.8;

则肯定能进入夏季的地区是____

【解析】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，

甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22，22，24，25，26，

其连续5天的日平均温度均不低于22，故甲地进入夏季，

②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27，

比如这5个数据从小到大排列为20，21，27，33，34满足条件，

但是有低于22的数，故不确定．

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，

若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，

得其连续5天的日平均温度均不低于22．

则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，

10.已知实数满足，则的最大值为_____

【解析】作出圆，与直线，

由题意得，都在圆上，

，则，

表示和到直线的距离和

，

由图形得只有当、都在直线的左侧距离之和才会取得最大值．

取、的中点，过作，垂足为，则，

因为为等边三角形，为的中点，所以，

则在圆上运动，故到直线距离的最大值为，

所以的最大值为．

二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）

11.给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的　　条件．

A．充要 B．充分非必要 

C．必要非充分 D．既非充分又非必要

【解析】直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直；

即“直线与平面内无数条直线都垂直”“直线与平面垂直”为假命题；

但直线与平面垂直时，与平面内的每一条直线都垂直，

即“直线与平面垂直”“直线与平面内无数条直线都垂直”为真命题；

故为必要非充分条件，故选．

12.已知平面平面，直线点，平面，间的距离为4，则在内到点的距离为5且到直线的距离是的点的轨迹是　　

A．一个圆 B．两条平行直线 C．四个点 D．两个点

【解析】设满足条件的点为，

过点做平面的垂线，则．

平面内一点到点的距离为，，

所以，即为平面上以垂足为圆心，半径的圆上，

在内到直线的距离是的点的轨迹是两条平行线，

点到它们的距离为．

这两条平行线与圆锥底面产生4个交点，

故选．

13.设集合，，如果命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】因为，表示平面坐标系中以为圆心，

半径为1的圆，

，表示以为圆心，

半径为1的圆，且其圆心在直线上，如图．

如果命题“，”是真命题，即两圆有公共点，

则圆心到直线的距离不大于2，

即，解得．

所以实数的取值范围是，故选．

14.设、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足，，，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是　　

A． B．2 C．4 D．8

【解析】设，，，

因为、、两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，

所以

所以

即最大值为2，故选．

三、解答题（本大题满分58分，本大题共有5题）

15.已知直线和，

（1）若与平行，求的值；

（2）若与垂直，求的值.

【解析】（1）当时，即时，与垂直，

即时，与垂直．

（2）当时，与平行，

即时，与平行．

16.在正方体中，是棱的中点.

（1）求直线和平面所成角的正弦值;

（2）在棱上是否存在一点使平面，证明你的结论.

【解析】（1）如图(a)，取的中点，连接，

因为是棱的中点，四边形为正方形，所以.

在正方体中，面，

所以面，从而为直线在平面上的射影，是直线和平面所成角，

设正方体的棱长为2，则，，

于是在中，，

则直线和平面所成角的正弦值为；

（2）在棱上存在点，使平面，

事实上，如图(b)所示，分别取和的中点，

连接，因为，且，

所以四边形为平行四边形，因此，

又分别为和的中点，所以，

这说明共面，所以平面，

因为四边形与皆为正方形，

分别为和的中点，所以且，

因此四边形为平行四边形，所以，

而平面,平面，故平面.

17.如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示:

（1）求在时间内，与同时发生故障的概率；

（2）求在时间内，，至少一个发生故障的概率；

（3）求在时间内，电路不通的概率.

【解析】（1）设表示发生故障，则，

在时间内与同时发生故障的概率；

（2）在时间内，与至少一个发生故障的概率

；

（3）设表示发生故障，则，

在时间内，电路不通的概率

.

18.由曲线围成的封闭图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为;满足的点所组成的封闭图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为

（1）当时，分别求出两旋转体的水平截面的面积;

（2）求与的关系，并说明理由.

【解析】（1），

；

（2）因为，由祖恒原理得两个几何体体积相等.

19.如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点．

（1）当时，求直线的方程；

（2）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．

【解析】（1）当直线与轴垂直时，易得符合题意；

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，

所以．由，解得．

故直线的方程为或．

（3）法一：当与轴垂直时，易得，，

又，则，，故．即．

当的斜率存在时，设直线的方程为，

由得．

则，，

即，．

又由得，则．

故．

综上，的值为定值，且．

法二：连接，延长交于点，易得，又于，

故．于是有．

由，得．

故．

法三：连接并延长交直线于点，连接、，

易得，又，

所以四点、、、都在以为直径的圆上，

由相交弦定理得．