2021-2022学年上海外国语大学附属外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海外国语大学附属外国语学校高二上学期期中数学试题

一、填空题

1．已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为____________．

【答案】

【分析】根据圆柱体积公式，结合侧面展开图的性质进行求解即可

【详解】因为圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，

所以该圆柱的底面圆的周长为6，因此半径为，而圆柱的高为6，

故该圆柱的体积为．

故答案为：

【点睛】本题考查了圆柱体积公式的计算，考查了数学运算能力.

2．某圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为____．

【答案】

【分析】根据圆锥底面面积公式以及圆锥侧面面积公式，求出底面半径和母线长，即可得出结论.

【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，

则，解得，

，解得，

设该圆锥的母线与底面所成角为，

所以，，

所以.

故答案为：.

3．P是所在平面外一点，是点P在平面上的射影．若，则O是的________心．

【答案】外心.

【分析】由平面和，利用勾股定理，求得，即可求解.

【详解】如图所示，由点是点在平面的射影，所以平面，

可得，,，

因为，所以，

所以为的外心.

故答案为：外心.

4．正方体的棱长为，是棱的中点，则异面直线与的距离为________.

【答案】

【分析】根据正方体的性质可得，，则即为异面直线与的距离；

【详解】解：依题意可得，面，面，所以，即为与的公垂线，所以即为异面直线与的距离，

故答案为：

5．给出下列命题：

①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

其中所有正确命题的序号为___________.

【答案】②③

【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②；由空间中直线与平面的位置关系判断③．

【详解】对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故①错误；

对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；

对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．

其中所有正确命题的序号为②③．

故答案为：②③．

6．如图，在坡面与水平面所成二面角为的山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶，已知此山高米，若小李从沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶需要的时间是_____分钟.

【答案】18

【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理推得直线，从而在与中求得，由此求得小李到达山顶所需时间.

【详解】过点作平面，垂足为，过点作直线，垂足为，连接，如图，

.

因为平面，，所以，

又，面，所以面，

又面，所以直线，

由题意可知，，

所以在中，，

在，，所以，

因为小李行进速度为每分钟30米，

所以他到达山顶需要的时间是（分钟）.

故答案为：18.

7．如图是正四面体的平面展开图，、、分别为，，的中点，则在这个正四面体中，与所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）

【答案】

【分析】根据展开图还原几何体，利用平移找到异面直线所成的角，根据余弦定理即可求解.

【详解】由正四面体的平面展开图可得正四面体如图所示，其中点重合

，连接，因为为 的中点，所以,所以即为与所成的角或补角，不妨设正四面体的棱长为2，则,在中，由余弦定理可得，,所以与所成角的大小为.

故答案为

【点睛】本题主要考查异面直线所成角的大小求解，考查作图能力与运算求解能力，属于基础题.

8．已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为______________.

【答案】

【解析】根据棱台的上、下底面的面积之比为1：4，利用相似比得到棱台的上、下底面的边长之比为1：2，再根据截去的小棱锥的侧棱长为2和正四棱锥的底面边长为2，得到棱台的底面边长和斜高，代入公式求解.

【详解】如图所示：

因为棱台的上、下底面的面积之比为1：4，

所以棱台的上、下底面的边长之比为1：2，

因为截去的小棱锥的侧棱长为2，

所以正四棱锥的侧棱长为4，

又因为正四棱锥的底面边长为2，即，

所以，

作，则，

，

所以此棱台的表面积为，

故答案为：

9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形.底面圆的内接正三角形面积为，则该圆柱的表面积为__.

【答案】

【分析】先由三角形面积公式求出三角形边长，再由正弦定理求底面圆的半径，由表面积公式求圆柱的表面积.

【详解】

如图所示，设圆柱的底面圆半径为，则高为，

再设底面圆的内接正三角形边长为，

则该三角形的面积为，解得；

由正弦定理得，所以，

所以该圆柱的表面积为.

故答案为：.

10．已知正四棱锥的棱长都相等，侧棱、的中点分别为、，则截面与底面所成的二面角的正弦值是__.

【答案】

【分析】设交于，过作直线，证明出为所求二面角的平面角，求出，，，即可求解.

【详解】如图，正四棱锥中，为正方形的两对角线的交点，

则面.

因为侧棱、的中点分别为、，所以为的中位线，所以.

设交于，则.

因为面，所以.

又，，平面，平面，所以平面.

过作直线，则,所以面，面，所以为面与底面的交线.

因为为正方形，所以，所以.

由正四棱锥的对称性可得：.而为的中点，所以.

所以为所求二面角的平面角.

又，，所以

所以.

所以截面与底面所成的二面角的正弦值是.

故答案为：.

11．直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是__.

【答案】

【分析】作于D.判断出即为与平面所成的角.设，，利用几何性质得到，进而.证明出.

解得，即可求出的取值范围

【详解】作于D.

因为平面平面，平面平面，

所以平面，所以即为与平面所成的角，.

设，，则.

在直角三角形中，由正弦的定义：.

在直角三角形中，由等面积可得：，

所以，所以.

在直三棱柱中，.

因为平面，所以.

因为平面，平面，，

所以平面，故，从而，即.

于是，解得：.

又，解得：.

故答案为：.

12．如图，三棱柱中，，若，则三棱柱体积最大时，______.

【答案】

【分析】推导出平面，设，可求出、的长，计算出，可求得的解析式，结合二次函数的性质可求得答案.

【详解】因为，，则，

又，，平面，所以平面，

设，在中，，

在中，，

所以，

所以，

由已知可得，可得，

所以，

又

所以三棱柱的体积，

所以当时，三棱柱体积最大，此时.

故答案为：.

二、单选题

13．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】由公理2的推论即可得到答案.

【详解】由公理2的推论:

过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,

可得在同一平面,

故充分条件成立;

由公理2的推论：

过两条平行直线,有且只有一个平面,

可得,

当时,

在同一个平面上,

但中无三点共线,

故必要条件不成立;

故选:A

【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;

公理2的三个推论：

经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;

经过两条平行直线,有且只有一个平面;

经过两条相交直线,有且只有一个平面;

14．在下列四个正方体中，能得出的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由线面垂直的性质可判断A，根据异面直线所成角的计算可判断BCD.

【详解】对A，如图，连接，则在正方体中，，又平面，平面，则，，平面，平面，，故A正确；

对B，如图，连接，易得，则为异面直线所成角，，故不垂直，故B错误；

对C，如图，，则为异面直线所成角，易得，故不垂直，故C错误；

对D，如图，，则为异面直线所成角，显然，故不垂直，故D错误.

故选：A.

15．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（    ）

A．斛 B．斛

C．斛 D．斛

【答案】A

【分析】由扇形弧长公式可求得底面圆半径，根据圆锥体积公式计算出米堆的体积，进而计算得到结果.

【详解】由题意知：底部扇形弧长，圆心角，圆锥的高

底面圆半径    米堆的体积

堆放的米约有斛

故选：

【点睛】本题考查圆锥体积相关问题的求解，涉及到扇形弧长公式、圆锥体积公式的应用，属于基础题.

16．如果底面是菱形的直棱柱（侧棱柱与底面垂直的棱柱）的所有棱长都相等，,分别为的中点，现有下列四个结论：①平面    ②     ③平面④异面直线与所成的角为，其中正确结论的个数为

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【解析】根据几何体的性质，对选项进行逐一判断.

【详解】解：因为底面是菱形，且，为中点，

所以为等边三角形，且，

又因为，

所以，

因为四棱柱，

所以平面，

故，

又因为，平面，

所以平面，故选项①正确；

因为为的中点，

所以，

若，则得到，

与矛盾，故选项②不正确；

因为四棱柱，

所以有,

因为为的中点，

所以,

故,

因为平面，

平面

所以平面，故选项③正确；

由③可知，,

所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角,

因为四棱柱，且各棱长相等，

所以四边形为正方形，

故，即异面直线与所成的角为90°，故④不正确，

综上：本题的共有2个正确，故选B.

【点睛】本题考查了几何体线面的位置关系，解题时应充分运用题中所给的条件，结合判定与性质定理逐项进行验证.

三、解答题

17．如图，已知、两点分别是正方形边、的中点，交于点，垂直于所在平面．求证：⊥平面．

【答案】证明见解析．

【详解】试题分析：连接交于点，由，是正方形边、的中点，得到⊥，再根据平面，得到⊥，即可利用线面垂直的判定定理，证得⊥平面．

试题解析：证明：如图，连接交于点，

∵，是正方形边、的中点，⊥，

∴⊥，

又∵平面，平面，

∴⊥，

∵，平面

∴⊥平面．

【解析】直线与平面垂直的判定与证明．

18．如图，长方体中，，与底面所成的角为.

(1)求长方体的体积；

(2)求异面直线与所成角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)先证明是与底面所成的角，解三角形求，利用长方体的体积公式可得结果；

（2）由，可得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得结果．

【详解】（1）因为多面体为长方体，，

所以平面，，

所以是与底面所成的角，

因为与底面所成的角为，

所以，所以，

因为正方形的面积，

所以长方体体积.

（2）因为，

所以是异面直线与所成角（或所成角的补角）.

 因为，，

 所以.

 所以.

 所以异面直线与所成角是.

19．如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.

(1)求三棱锥的体积；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算出、的长，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积；

（2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.

【详解】（1）解：因为是圆的直径，所以，

因为，且，所以，，

又，所以，，

三棱锥的体积.

（2）解：，，，

所以，

所以.

所以，设点到平面的距离为，

由，得，解得.

所以点到平面的距离为.

20．如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元.

（1）将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域；

（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？

【答案】（1），定义域为.（2）

【分析】（1）由题由圆柱与圆锥体积公式得，得即可；（2）由圆柱与圆锥的侧面积公式得容器总造价为，求导求最值即可

【详解】（1）因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，

圆锥的体积为，圆柱的体积为.

因为，所以，

所以.

因为，所以.

因此.

所以，定义域为.

（2）圆锥的侧面积，

圆柱的侧面积，底面积.

容器总造价为.

令，则.令，得.

当时，，在上为单调减函数；

当时，，在上为单调增函数.

因此，当且仅当时，有最小值，即有最小值，为元.

所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为.

【点睛】本题考查圆柱圆锥的表面积和体积公式，考查利用导数求函数最值，方程思想的运用，是中档题

21．如图，在四面体中，平面，，，．M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．

（1）证明：平面；

（2）若二面角的大小为，求的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取中点，连接，先证明面面平行再证明线面平行；

（2）根据三垂直线作法先找到二面角的平面角，然后根据线段长度关系求解出的大小.

【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：

因为为中点，为中点，所以，

又因为，所以，所以，

又因为为中点，为中点，所以，

又，所以平面平面，

又平面，所以平面；

（2）设，过作交于点，过作交于点，连接，如下图所示：

因为平面，所以，又，所以平面，

因为平面，所以，又因为，，

所以平面，所以，所以二面角的平面角为，

因为，所以，

又因为，所以，所以，

又因为，所以，

又因为为直角三角形且，

所以，所以，所以，

所以的大小为.

【点睛】本题考查空间中线面平行的证明和几何法求解二面角有关的问题，对学生的空间位置关系的理解能力与证明能力要求较高，难度一般.证明线面平行除了可以使用判定定理之外，还可以通过面面平行来证明.