2021-2022学年云南省楚雄州高二上学期期末教育学业质量监测数学试题（解析版）

2021-2022学年云南省楚雄州高二上学期期末教育学业质量监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，再根据集合交集运算求解即可.

【详解】解：解不等式得，

所以，

所以.

故选：A

2．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，，则由已知条件可求出复数，从而可求出

【详解】设，，则，则，，

所以

所以．

故选：C

3．已知数列，则这个数列的第8项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依据前五项的规律写出数列的通项公式，由通项公式求出数列的第8项即可.

【详解】由已知条件得

∵数列，，，，

∴，

则

故选：.

4．双曲线的实轴长为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.

【详解】由可得：，

，即，

实轴长，

故选：B

5．已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上一点，，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题可得，，即求.

【详解】因为，

所以.

因为，

所以，

故椭圆的标准方程为.

故选：B.

6．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】B

【分析】根据等比数列前n项和公式进行求解即可.

【详解】设的公比为q，因为，所以，则有，

即，解得.又，所以，.

故选：B

7．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；

若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，

故选：.

8．已知数列满足，其前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用代入法可以判断出该数列的周期，利用周期性进行求解即可.

【详解】因为，，，，，

所以是周期为4的周期数列，，所以.

故选：D

9．椭圆的离心率为，则（    ）

A．6 B．10 C．6或18 D．10或18

【答案】C

【分析】对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，解方程即得解.

【详解】解：当椭圆的焦点在轴上时，.

则，得；

当椭圆的焦点在轴上时，.

则，得.

故选：C

10．已知经过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，直线交抛物线的准线于点，则下列说法不正确的是（    ）

A． B．

C． D．直线平行于轴

【答案】C

【分析】根据焦点弦的性质判断B，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、C，求出点的纵坐标，即可判断D.

【详解】解：由题知，焦点的坐标为，准线的方程为，所以点的横坐标为.

由抛物线的定义知，，所以，故B正确.

设直线的方程为，联立方程组得，

则，所以，故A正确，C错误.

因为直线的方程为，所以点的纵坐标为，因为，所以直线平行于轴，故D正确.

故选：C

11．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（    ）

A．28 B．29 C．30 D．31

【答案】A

【分析】依题意可得，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可；

【详解】解：由，得，

所以

因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n为28.

故选：A

12．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为（    ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

【答案】D

【分析】作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可.

【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，设A与B分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x轴建立如图所示的坐标系.

由题意可知，，，

设，则．

设双曲线的方程为，

∵双曲线的离心率为，∴．

方程可化简为(*)，

将A和B的坐标代入(*)式可得解得，

则喉部的直径cm．

故选：D

二、双空题

13．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着乡村振兴战略规划的实施，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加.现统计了该地区2016年到2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据进行处理后，制成如图所示的折线图，其中变量（万元）表示该地区农村居民人均年消费支出，则这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数为___________，方差为___________.（本题第一空2分，第二空3分）

【答案】     1.3     0.04

【分析】根据题意得该地区农村居民人均年消费支出数据为，进而根据公式求解即可.

【详解】解：该地区农村居民人均年消费支出数据为，

所以这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数，

方差.

故答案为：；

三、填空题

14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.现有一道和书中内容类似的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较多的三份面包个数之和的是较少的两份面包个数之和，则最少的一份面包个数为_____________.

【答案】10

【分析】设每人所得的面包个数从小到大依次为，，，，，

由题意列方程组求出a，d，即可得到结论.

【详解】设每人所得的面包个数从小到大依次为，，，，，

则，

所以.

因为，所以，所以，

所以最少的一份面包个数为.

故答案为：10

15．抛物线上有一动点，其焦点为，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据抛物线的定义得到，进而结合几何图形可确定最小值.

【详解】

由题可知，抛物线焦点为，准线为，

过作准线的垂线为交准线为点，

根据抛物线的定义可知，

所以，

因为为抛物线上的动点，所以当为点时，

取到最小值为,

故答案为: .

16．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程是___________.

【答案】

【分析】设动点，用坐标表示已知条件并化简即可．

【详解】设，则，化简得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查动点轨迹方程，解题方法是直接法，即设动点坐标为，用坐标表示出题中动点满足的几何条件，然后化简即可．

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，公差是的等比中项，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的公式列方程求解得，进而得通项公式；

（2）结合（1）得，再根据裂项求和法求解即可.

【详解】（1）解：由题意知

因为，所以

所以.

（2）解：因为

所以

.

18．已知的内角所对的边分别为，且.

(1)求；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；

（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用余弦定理求出，最后根据面积公式计算可得；

【详解】（1）解：因为，

所以，

所以，

即，

因为，所以.

（2）解:因为，所以，所以.

因为，

所以，所以，

解得，

故的面积为.

19．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且.

(1)求证：；

(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，表示出、的坐标，根据空间向量法得到，即可得证；

（2）利用基本不等式求出三棱锥的体积的最大值，从而求出，过作于，即可得到，则是二面角的平面角，再根据锐角三角函数计算可得.

【详解】（1）证明：如图建立坐标系

设，则，，，

所以，，

所以，

所以；

（2）解：由（1）可知，，

所以三棱锥的体积，

当且仅当，即时取得最大值，

过作于，又平面，平面，

所以，又，平面，

所以平面，平面，

所以，

所以是二面角的平面角，

在直角三角形中，，，

所以，又且，

解得或（舍去），

因此平面与平面的夹角余弦值为.

20．甲､乙两名同学玩摸球游戏，在一个不透明的纸箱中装有大小相同的6个球，其中编号为1的球有3个，编号为2的球有2个，编号为3的球有1个，规定每人一次性取其中的3个，取出编号为1的球记1分，取出编号为2的球记2分，取出编号为3的球记3分.首先由甲取出3个球，并不再将所取球放回原纸箱中，然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获.

(1)求甲不输的概率；

(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.

【答案】(1)

(2)先后取球的顺序不影响比赛的公平性

【分析】（1）根据题意，记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，进而列举基本事件，结合古典概型概率公式和对立事件公式求解即可；

（2）结合（1），分别求甲、乙获胜的概率即可判断.

【详解】（1）解：记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，

则甲取球的所有情况有，，共20种.

因为6个小球的总分为分，

所以若要甲不输，则甲要至少得5分.

设事件表示“甲不输”，则包含，共7个基本事件，

所以，

故甲不输的概率.

（2）解：由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，

即取出的3个小球中有1个编号为3的球和2个编号为2的球，或有1个编号为3的球和1个编号为2的球和1个编号为1的球，有，，共7种情况，

即甲获胜的概率.

若甲､乙平局，则各得5分，包含，共6个基本事件，

所以甲､乙平局的概率，

所以甲输，即乙获胜的概率，

因此甲､乙获胜的概率相同.同理，由乙先取球时，甲､乙获胜的概率也相同.

故先后取球的顺序不影响比赛的公平性.

21．已知函数．

(1)若是偶函数，求a的值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）由偶函数的定义得出a的值；

（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a的取值范围．

【详解】（1）因为是偶函数，所以，

即，故．

（2）由题意知在上恒成立，

则，又因为，所以，

则．令，则，

可得，

又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是．

22．已知双曲线.

(1)过点的直线与双曲线交于，两点，点能否是线段的中点，为什么？

(2)直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.

【答案】(1)不能，理由见解析

(2)的轨迹方程为，其中，的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.

【分析】（1）设，，线段的中点为，设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，即可求出，再令求出，再代入检验即可；

（2）联立直线与双曲线方程，消元，根据，得到，即可得到的坐标，即可求出过点且与直线垂直的直线方程，从而得到、的关系，即可得解.

【详解】（1）解：点不能是线段的中点，理由如下：

设，，线段的中点为，

显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即.

因为双曲线的渐近线的斜率为，所以.

联立方程组得①，

所以，则，令，解得.

当时，方程①变为，因为，

所以方程①没有实数根，

所以不能作一条直线与双曲线交于，两点，使点是线段 的中点.

（2）解：联立方程组得，

因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，

所以，得，

所以点的坐标为，其中.

因为过点且与直线垂直的直线为，

令，得，令，得，

所以，

即的轨迹方程为，其中，

的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.