2022-2023学年安徽省六安第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省六安第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（    ）．

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.

【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为

把点代入求出，即直线方程为

（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为，

把点代入求出，即直线方程为

综上，直线方程为或

故选：A

2．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据直线方程得到恒过定点，利用坐标得到，，然后结合图象可得的取值范围.

【详解】

直线恒过定点，且，，由图可知，或.

故选：C.

3．已知圆心在第一象限，且过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据题意可设圆的方程为，将点代入，从而得到圆心坐标，然后结合点到直线的距离公式即可得到结果.

【详解】因为圆与两坐标轴都相切，点在圆上，

所以可设圆的方程为，

所以，即，解得或，

所以圆心坐标为或

所以圆心到直线的距离为或.

故选：B

4．数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案.

【详解】由已知，解得或，，

此时数列不一定是递减数列，

所以是“数列递减”的非充分条件；

若数列为递减数列，可得或，所以，

所以是“数列递减”的必要条件.

所以“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件.

故选：B.

5．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为，利用即可得解.

【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，

又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，

所以设所求双曲线为，即，

则，解得，

所以所求双曲线为.

故选：A.

6．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意把9间的宽度转化为两个等比数列的和,应用等比数列前项和公式计算即可.

【详解】由题意, 设明间的宽度为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为,

 同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为,

则由可得

所以总宽度为

故选:

7．已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等差数列的前项和的特点和条件可设，，然后算出、即可得答案.

【详解】因为=，所以可设，，，

所以，，

所以，

故选：A.

8．已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

【答案】B

【分析】设直线方程，代入抛物线消去x，由和韦达定理，解得可得直线经过定点，由可知在以为直径的圆上，可求轨迹方程.

【详解】设直线，将它与抛物线方程联立得：，

则，

设，则，

所以，故或，

当时，在直线上，故舍去，所以，

所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上.

故选：B.

二、多选题

9．已知，，下列说法中，正确的有（    ）

A．若点在内，则

B．当时，与共有两条公切线

C．，使得与公共弦的斜率为

D．若与存在公共弦，则公共弦所在直线过定点

【答案】ABD

【分析】利用点在圆内列式判断A；判断两圆位置关系判断B；求出两圆公共弦方程判断C，D作答.

【详解】对于A，点在：内，则，解得，A正确；

对于B，当时，：圆心，半径，

圆心，半径，，，

即有与相交，与共有两条公切线，B正确；

对于C，当，与有公共弦时，其所在直线为，其斜率为，C不正确；

对于D，当，与存在公共弦时，公共弦所在直线为，

由解得，因此公共弦所在直线过定点，D正确.

故选：ABD

10．已知方程 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．当时，曲线C是椭圆

B．当或时，曲线C是双曲线

C．若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线C是焦点在轴上的双曲线，则

【答案】BCD

【分析】根据方程表示的曲线的类型，列出相应的不等式（组），求得参数t的取值范围，即可判断答案.

【详解】当曲线是椭圆时，需满足，解得或，A错误，

当曲线是双曲线时， ，解得或 ，故B正确；

当曲线是焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故C正确；

若曲线是焦点在y轴上的双曲线，则 ，解得，故D正确．

故选： ．

11．已知为等差数列的前项和，且满足，，若数列满足，，则（    ）

A． B．的最小值为

C．为等差数列 D．和的前100项中的公共项的和为2000

【答案】AC

【分析】对于A选项，直接利用等差数列所给的条件求出首项和公差进而求出的通项公式来判断A；

对于B选项，将表示出来得到关于n的表达式，利用二次函数性质求出最小值判断B；

对于C选项由题意可得的地推公式，利用构造法找到规律进而得出数列的通项公式

来判断C；对于D选项，结合公共项的特点正好是等差数列，利用等差数列求和来判断D；

【详解】由为等差数列，设公差为，，，得，

解得，，，

，则，所以选项A正确；

，当时，的最小值为，

选项B错误；由，得，变形得，

构建一个新数列，令，，即，又，

，由，得，则，

，，再由得，=0，即，的通项公式为

，由可证明为等差数列，所以选项C正确；

由和通项公式可以得出，和的前100项中的公共项的和为

，所以选项D错误，

故选：AC

12．已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（    ）

A．若直线的斜率为，则

B．的最小值为

C．若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为

D．若点，则周长的最小值为

【答案】BCD

【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，，进而判断选项A错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；过作垂直于准线，垂足为，结合的周长，进而判断选项D即可.

【详解】由题意得点在抛物线上，

所以，解得，所以，则，

设直线，与联立得，

设，，所以，，

所以，

当时，，A项错误；

，

则，

当且仅当，时等号成立，B项正确；

如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，

取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，

则，是梯形的中位线，

由抛物线的定义可得，

所以，

所以以为直径的圆与轴相切，

所以点为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，

又为的中点，所以点的纵坐标为，

又点在抛物线上，所以点的横坐标为，C项正确；

过作垂直于准线，垂足为，

所以的周长为，

当且仅当点的坐标为时取等号，D项正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知直线，，若，则的值是___________.

【答案】

【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.

【详解】因为，，，

所以当，即时，，，显然不满足题意；

当，即时，，

由解得或，

当时，，舍去；

当时，，满足题意；

综上：.

故答案为：.

14．线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为______．

【答案】

【分析】利用入射光线与反射光线的性质，结合对称可求答案.

【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知,

设关于直线的对称点，，解得；

由反射光线性质知

所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，

.

故答案为：.

15．设等差数列的前项和为，且，，则当______时，最大．

【答案】1011

【分析】利用等差数列的求和公式及性质求解.

【详解】因为为等差数列，所以，即；

同理由可得，所以，所以当时，最大．

故答案为：1011.

16．设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】由与关系，推出为等差数列，即可求出，再由原不等式转化为恒成立，设，可证出为递增数列，进而即得.

【详解】当时，，得，

当时，，，

两式相减得，

得，

所以，又因为，

所以是以6为首项，4为公差的等差数列，

所以，即，

因为对任意，，

所以，即，

记，则，

所以为递增数列，，

所以，即.

故答案为：.

四、解答题

17．已知圆是圆：关于直线：的对称圆．

(1)求圆的方程

(2)求过点与圆相切的切线方程．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）先利用对称的特征设出所求圆的方程，根据点关于直线对称的特点求出方程；

（2）分斜率存在和不存在两种情况，利用待定系数法，根据点到直线的距离等于半径来求解.

【详解】（1）由：可得：.

因为圆是圆：关于直线：的对称圆，

则可设的方程为，

由题意可得，解得，，

所以圆的方程为．

（2）过点与圆相切的切线，当切线斜率不存在时，则切线方程为，经检验满足题意；

当切线斜率存在时，设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径可得，解得，即切线方程为，综上，所求切线方程为或．

18．已知等差数列满足，，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得到，化为基本量和的关系，即可求解；

（2）根据错位相减法求和即可.

【详解】（1）等差数列的首项，公差设为，

由，，成等比数列，则，

即，

即，解得，

所以.

（2）由题意，，设数列的前项和为，

则，

，

两式相减得

即，

化简得.

19．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得；

（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.

【详解】（1）由题意得：；

当时，，又，；

当且时，，

整理可得：，

，，

数列是以为首项，为公差的等差数列，.

（2）由（1）得：，

.

20．已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，，C的离心率为2.

(1)求C的方程；

(2)直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题干两条件列方程组求解，即可；

（2）按直线l的斜率是否存在分两种情况讨论.当斜率存在时，设直线方程为，根据以为直径的圆经过点A列出等式求出k与t的关系，据此证明直线过定点，并求出定点坐标；当斜率不存在时，直线垂直于x轴，可直接求得直线方程，验证其是否经过前面求得的定点即可.

【详解】（1）设双曲线C的焦距为，则.

所以，

又C的离心率，所以，

所以C的方程是.

（2）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

联立得.

由得

所以，

.

因为以为直径的圆经过点，所以，即

整理得，所以或.

当时，直线l的方程为，所以直线l过左顶点，不符合题意；

当时，直线l的方程为，所以直线l恒过定点.

当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，

代入，得，所以.

因为，整理得，

解得（舍去），

此时直线l的方程为，直线l也过点.

综上所述，直线l恒过定点.

21．已知椭圆：的长轴长为4，短轴长与焦距相等.

(1)求椭圆的标准方程和离心率；

(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点，，，是否存在实数，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；离心率是

(2)存在，直线方程

【分析】（1）由条件求出，即可求解；

（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点的坐标，根据，即可求解.

【详解】（1）由条件可知，，，

，且，所以，离心率，

椭圆的标准方程：，离心率是；

（2）直线与椭圆有两个不同的交点，设，，联立方程，得

，，

解得：或，

，，

中点横坐标，中点纵坐标，

设的中点为

若是以为底边的等腰三角形，则，

即，解得：或（舍）

所以存在实数，使得是以为底边的等腰三角形，直线方程是.

22．已知数列满足．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)证明：．

【答案】(1)证明见解析.

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据条件可得，利用等差数列的定义即可证明结论；

（2）利用（1）的结论可得，即得，利用作差法可得，由此可设，即得，且，两式相乘可证明结论.

【详解】（1）证明：根据题意，

可得，则，

故，

故数列是以为首项，2为公差的等差数列．

（2）由（1）知，，则，

则,

由于，

故

设,则，

且，

则，

故.

【点睛】关键点点睛：证明时，由（1）的结论求得后，关键是利用作差法得到，从而设，可得到，且，由此解决问题.