2022-2023学年甘肃省兰州市兰州西北中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市兰州西北中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（    ）

A．{0，1} B．{－1，1，3} C．{－1，0，1} D．{3，5}

【答案】D

【分析】求出集合B，然后求出即可

【详解】因为

所以

所以

故选：D.

2．已知复数，则复数的模为

A．2 B． C．1 D．0

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算求出，然后再求出即可．

【详解】由题意得，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数，属于基础题．

3．在中，，，，则角（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】D

【分析】由正弦定理求出，结合的范围得到答案.

【详解】由正弦定理得：，即，

解得：，

因为，所以.

故选：D

4．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（    ）

①函数的最小正周期为；

②是函数图象的一个对称中心；

③函数图象的一个对称轴方程为；

④函数在区间上单调递增

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先根据三角函数图象变换求得，然后由三角函数的最小正周期、对称中心、对称轴、单调性等知识确定正确选项.

【详解】，

，

.

①，的最小正周期为，①错误.

②，， ②正确.

③，，③错误.

④，，所以函数在区间上单调递增，④正确.

所以正确的一共有个.

故选：B

5．总体由编号为的个个体组成，利用随机数表从中抽取个个体，下面提供随机数表的第行到第行：

若从表中第行第列开始向右依次读取，则抽取的第个个体的编号是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】从第行第列开始向右依次读取，注意：不在编号范围内的和重复的要去除.

【详解】利用随机数表从第行第列开始向右读取，依次为09，84（去除），96（去除），57（去除），，09（重复，去除），84（去除），73（去除），03，所以抽取的第个个体的编号是03.

故选：B.

6．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

【答案】A

【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.

【详解】

连，在正方体中，

M是的中点，所以为中点，

又N是的中点，所以，

平面平面，

所以平面.

因为不垂直，所以不垂直

则不垂直平面，所以选项B,D不正确；

在正方体中，，

平面，所以，

，所以平面，

平面，所以，

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

7．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.

【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列．

故选：C.

8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.

详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，

结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，

所以其表面积为，故选B.

点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.

9．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】当截距为0时，设出直线的点斜式；当截距不为0时，设出直线的截距式，进而将点代入方程解出参数，最后得到答案.

【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，

把点代入方程，得，即，所以直线的方程为；

当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为，

把点代入方程，得，即，所以直线的方程为．

故选：D．

10．如图，在中，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.

【详解】

.

故选：A

11．珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算古典概型概率即可.

【详解】总共14颗算珠，其中上珠4颗，故从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为.

故选：C

12．三点，，在同一条直线上，则值为（    ）

A．2 B． C．或 D．2或

【答案】D

【解析】根据三点共线，可得，由两点求斜率即可求解.

【详解】由题意可得，

因为A，B，C三点共线，

所以，即，

解得或．

所以的值为2或．

故选：D．

二、填空题

13．直线：与直线：的距离为______．

【答案】

【分析】将直线方程化为，利用平行直线间距离公式求得结果.

【详解】直线方程可变为：    与之间距离

故答案为：

【点睛】本题考查平行直线间距离的求解，关键是能够统一两条直线的和的值，进而利用公式求得结果.

14．已知直线，其恒过的定点为______

【答案】

【分析】把直线方程化为点斜式可得答案.

【详解】由直线，得，

其恒过的定点为.

故答案为：.

15．在长方体中，，，点E在棱上，若直线与平面所成的角为，则__________.

【答案】

【分析】首先找到线面角，再由勾股定理即可求得.

【详解】

如图所示，连接，由题意知即为直线与平面所成的角，则，

在中，，即，则，

在中，，

故答案为：

16．的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是___________．

【答案】8

【分析】根据二项式展开式的通项公式可得第5项为，结合题意即可求解.

【详解】由题意知，展开式的通项公式为

，

所以第5项为，

由第5项为常数项，得，解得.

故答案为：8.

17．若，则__________.

【答案】

【分析】由分段函数的解析式得到，从而代入求值.

【详解】由题意可知：.

故答案为：

三、解答题

18．已知圆，圆.

(1)求两圆公共弦所在直线l的方程；

(2)求公共弦长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）两圆相交，其一般方程相减得到公共弦所在直线方程；

（2）求出圆心到直线的距离，根据弦长公式得解.

【详解】（1）解：因为圆，圆，

所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，

所以，故圆与圆相交，

所以，两圆方程作差得：.

所以，两圆公共弦所在直线的方程为：

（2）解：因为的圆心为，半径，

所以，到直线的距离为，

所以，公共弦长为.

19．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)从点向圆C作切线，求切线方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，

又因为的中点为，

所以线段的中垂线的直线方程为，

即，

联立 解得 ，所以圆心

又因为半径等于,所以圆的方程为.

（2）设圆的半径为，则，

若直线的斜率不存在，因为直线过点，

所以直线方程为，

此时圆心到直线的距离，满足题意;

若直线的斜率存在，设斜率为，

则切线方程为，即，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，

解得，

所以切线方程为，即.

所以切线方程为或.

20．已知的斜边为，且.求：

(1)直角顶点的轨迹方程；

(2)直角边的中点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，根据，得到，结合斜率公式，即可求得顶点的轨迹方程；

（2）设，根据是线段的中点，得到，代入的轨迹方程，即可求得动点的轨迹方程.

【详解】（1）解：设，因为三点不共线，所以，

因为，所以，

又因为，所以，

整理得，即，

所以直角顶点的轨迹方程为.

（2）解：设，

因为，是线段的中点，

由中点坐标公式得，所以，

由（1）知，点的轨迹方程为，

将代入得，即

所以动点的轨迹方程为.