2022-2023学年广东省广州大学附属中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州大学附属中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先求集合，再求.

【详解】由，解得，则.又∵，

∴.

故选：C.

2．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（　　）

A．0 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有，即可得答案.

【详解】∵复数在复平面内对应的点位于实轴上，

∴，即．

故选：B

3．若成等差数列；成等比数列，则等于

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．

【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1，

∴a1﹣a2＝﹣1．

又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．

∴

故答案为A．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.

4．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由古典概率模型的计算公式求解.

【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为 .

故选：B.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.

【详解】由得：，

即，，

.

故选：B.

6．已知，为单位向量．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.

【详解】设，的夹角为，

因为，为单位向量,且，

所以，

即，

整理得，

解得或（舍），

因为.

故选:A.

7．已知抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长取最小值时，线段的长为

A．1 B．

C．5 D．

【答案】B

【分析】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|．因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF长度．

【详解】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，

设点P在准线上的射影为D，

根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|

因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值

根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，

此时P（，3），F（1，0）的长为，

故选B．

【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．

8．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接,设由条件可得，可得，由条件有则，由双曲线的定义可得.在中，， 由余弦定理可得：，可得，可解得，从而可得答案.

【详解】连接，设,设，，由双曲线的定义可得.

由条件可得 ，则，即

在中，

由，则，由双曲线的定义可得.

在中，

由余弦定理可得：

即

所以

结合上面得到的式子：，可得

所以，则 ，即

所以，即

故选：A

【点睛】关键点睛：本题考查求双曲线的离心率问题，解答本题的关键是由条件设由条件可得，可得，在中，，由余弦定理可得： ，即 ，所以 ，属于中档题.

二、多选题

9．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（    ）

A．a1＝1 B．d＝－

C．a2＋a12＝10 D．S10＝40

【答案】ACD

【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.

【详解】设数列{an}的公差为d，

则由已知得S7＝，

即21＝，解得a1＝1.

又a7＝a1＋6d，所以d＝.

所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.

由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.

故选：ACD

10．下列函数中，最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据函数的单调性可求出ACD的最小值，利用基本不等式可判断B选项.

【详解】对于A, ，所以函数最小值为2，故A正确；

对于B，当时，，当且仅当即时取得等号，

当时，，因为，

所以当且仅当即时取得等号，

所以，故B错误；

对于C，在单调递减，

所以当时函数有最小值为，故C错误；

对于D，在单调递增，

所以当时函数有最小值为，故D正确；

故选:AD.

11．椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题，正确的是（    ）

A．过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；

B．椭圆上不存在点，使得；

C．椭圆离心率为；

D．为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为4.

【答案】AC

【分析】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A；根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断B；直接法求离心率判断C；根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断D.

【详解】由题设椭圆参数为，且、，

对A：由椭圆定义知：，则△的周长为8，A正确；

对B：当在y轴上时，，而，

此时，且，易知，

故，则存在点使得，

故存在点使得，B错误；

对C：椭圆的离心率为，C正确；

对D：由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为，所以，

故的最大距离为3，D错误.

故选：AC.

12．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论正确的是（    ）

A．平面截正方体所得的截面图形是五边形

B．直线到平面的距离是

C．存在点，使得

D．面积的最小值是

【答案】ABC

【分析】作出截面图形判断A；利用等积法可判断B，利用坐标法可判断CD.

【详解】对于A，如图直线与、的延长线分别交于，，

连接，分别交，于，，连接，，

则五边形即为所得的截面图形，故A正确；

对于B，由题可知，平面，平面，

所以平面，故点到平面的距离即为直线到平面的距离，

设点到平面的距离为，由正方体的棱长为2，

可得，，，

所以，

，

所以由，可得，

所以直线到平面的距离是，故B正确；

对于C，如图建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，2，，，0，，

设，，所以，2，，

又，2，，，0，，，2，，

所以，，，，，，，，，

假设存在点，使得，

，整理得，

所以（舍去）或，

故存在点，使得，故C正确；

对于D ，由上知，，，所以点，，在的射影为，2，，

所以点，，到的距离为：，

所以当时，，

故面积的最小值是，故D错误．

故选：ABC．

三、填空题

13．向量，则__________.

【答案】

【分析】根据向量运算求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

14．函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．

【答案】(1，＋∞)

【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.

【详解】由题意，函数满足，解得或，

即函数的定义域为，

令，

则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是 ；

故答案为： .

15．已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则△的面积是________．

【答案】2

【分析】假设在左支上，由双曲线定义及已知条件可得，再用余弦定理求，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△的面积.

【详解】不妨假设在左支上，则，又，

所以，而，则，

所以，故，

综上，△的面积是.

故答案为：2.

16．在平面直角坐标系中有两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则实数的最小值为_______．

【答案】5

【分析】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹方程，再结合两圆位置关系求解即可.

【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则.

设，则，，

因为动点P满足，

即，则，即，

又因为时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，

即圆与圆相离或外切或内切或内含，如图，

所以或，解得（舍去）或，

所以实数的最小值为5．

故答案为：5.

四、解答题

17．已知等差数列的公差为（），前项和为，等比数列的公比为，且，，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）通过公式求出公差、公比即可求出通项；（2）用错位相减法求数列的前项和．

【详解】（1），，∴，

，，；

（2），

，

，

两式相减得

，

．

18．为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数及中位数（精确到小数点后一位）；

(2)现准备从成绩在的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在的概率．

【答案】(1)＝103.2，；

(2).

【分析】(1)根据频率分布直方图平均数和中位数计算方法计算即可；

(2)利用枚举法枚举出8人选2人的基本事件，求出其总数，再求出2人成绩在的事件数量，由此即可求出概率.

【详解】（1）该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝

103.2．

因为成绩在的频率为0.4，设中位数，则

所以，；

（2）设成绩在的5位同学位，成绩在的3位同学为．从中选出2位同学，基本事件为：

，

，

共28个，而2位同学成绩恰在内的事件有3个，

所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在的概率为.

19．a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知．

(1)求；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由诱导公式，正弦和角公式及正弦定理得到，因为，所以；

（2）在第一问的基础上利用余弦定理得到，结合，求出，再利用三角形面积公式求出答案.

【详解】（1）因为，

所以，即，

所以，

即，

又，所以，所以；

（2）由第一问可知，则，

由余弦定理得：，

因为，，所以，

又，解得，

所以的面积．

20．如图，在正四棱柱中，，点E在上，且．

(1)若平面与相交于点F，求；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由线面平行的性质得到线线平行，由相似知识求出的长度；

（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.

【详解】（1）如图，连接，因为平面，平面平面，所以．

连接，因为，所以，所以，

又，所以．

（2）以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，

则，解得：，令，则，

故．

设平面的法向量为，

则，令，则，

故．

．

由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

21．已知圆：，过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点.

(1)当直线的斜率为-4时，求的面积；

(2)若直线的斜率为k，直线OA，OB的斜率为，.

①求k的取值范围；

②试判断的值是否与k有关?若有关，求出与k的关系式；若无关，请说明理由.

【答案】(1)

(2)①；②无关，理由见解析

【分析】(1)由题意可得直线的方程为，即可得圆心到直线的距离，，再利用求解即可；

(2)①利用求解即可；

②设，，联立直线与圆的方程由韦达定理可得，，由可得=1，即可得答案.

【详解】（1）解：当直线的斜率为-4时，直线的方程为.

因为圆心到直线的距离，

所以，

所以；

（2）解：直线的方程为.

①因为与圆相交，所以圆心到直线的距离，

得，

即的取值范围是；

②设，，

联立方程组，

得，

所以，.

因为，

所以，

即为定值，与直线的斜率无关.

22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为．点在椭圆上，且满足△的周长为6．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）直接根据椭圆的定义和性质计算得到答案.

（2）联立方程，根据韦达定理的根与系数的关系，计算得到，得到，解得答案，再验证斜率不存在时的情况即可.

【详解】（1）由题意知：，解得，椭圆方程为：.

（2）设，，，，，

当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立，

得，则，，

又，

而

为定值．

只需，解得：，从而．

当不存在时，，

当时，，

综上所述：存在，使得．

【点睛】本题考查了求椭圆方程及椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理求解是常考的方法，需要熟练掌握，将定值问题转化为比例关系是解题的关键.