2022-2023学年广东省广州市第八十六中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第八十六中学高二上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第八十六中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．直线l：的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系即可求解.【详解】解：由题意得：直线l的方程：可化为直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则又所以故选：C2．已知圆，则其圆心和半径分别为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将圆的一般式化为标准式，然后求圆心和半径即可.【详解】圆的方程可整理为，所以圆心为，半径为.故选：C.3．已知数列是等差数列，其前n项和为，若，则（    ）A．15 B．25 C．35 D．45【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算作答.【详解】等差数列的前n项和为，，所以.故选：D4．点到直线的距离是，那么m的值是（    ）A．4 B． C．4或 D．或4【答案】D【分析】根据点到线的距离公式求解即可.【详解】由题意，，故，即，解得.故选：D5．已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.【详解】错解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：D.错因：忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.正解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B.6．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（　　）A． B．C．） D．【答案】B【分析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B7．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得及，再结合求出，即可得解.【详解】解：由题意知，，，又，∴，，，故双曲线实轴长为.故选：C.8．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2023的项的个数为（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整数的值，进而可得出结论.【详解】由题意可得，所以，，则，所以，数列单调递增，因为，则，则使得不等式成立的最大正整数的值为10.因此，数列中不超过2023的项的个数为10.故选: C. 二、多选题9．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）A．若空间向量，满足，则B．若非零向量，满足，则有C．若是空间的一组基底，且，则四点共面D．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底【答案】CD【分析】结合空间向量定义可直接判断A错；由空间的垂直关系可判断B错误；由四点共面的结论可判断C正确；由基底向量的定义化简可判断D正确.【详解】对于A，模长相等方向可不同，显然A错误；对于B，由于空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，所以B错误；对于C，由平面的向量示可知是空间的一组基底，则三点不共线.由，，可判断四点共面，故C正确；对于D，若向量是空间一组基底，则对空间中的任何一个向量，存在唯一的实数组，使得，于是，所以也是空间的一组基底，故D正确.故选：CD10．已知直线和圆，则（    ）A．直线l恒过定点B．圆心C到直线l的最大距离是.C．直线l与圆O相交D．若，直线l被圆O截得的弦长为4【答案】ABC【分析】首先，改写直线方程形式，判断定点，即可判断AC；当圆内定点为弦的中点时，此时弦长最短，圆心到直线的距离最大；D.利用弦长公式求解.【详解】对于A、C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，设直线与圆相交于两点，弦中点为，则，为到直线的距离的最大值，,圆心C到直线l的最大距离为，故B正确；对于D， 时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：ABC.11．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（    ）A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为C． D．的周长为【答案】AC【分析】AB选项，根据短轴长，离心率和求出，，焦点在y轴上，所以求出椭圆方程；C选项，求出P，Q两点的横坐标，进而得到通径长；D选项利用椭圆的定义进行求解.【详解】由题意得：，所以，因为，，解得：，，因为焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为，A正确，B错误；不妨设，则P，Q两点的纵坐标也为，令中，解得：，所以不妨令，，所以，C正确；根据椭圆的定义可知，的周长为，故D错误.故选：AC12．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ）A．B．1225既是三角形数，又是正方形数C．D．，总存在，使得成立【答案】ABD【分析】利用等差数列求和，分别求出，，进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】三角形数构成数列，易得；正方形数构成数列，，易得；对于A：，故A正确；对于B：令，解得；令，解得.故B正确；对于：∵，∴，故C错误；对于D：取，且，则，即，故，总存在，使得成立，故D正确.故选：ABD. 三、填空题13．已知空间向量，，且，则_________.【答案】1【分析】由，可建立关于的方程，解出即可.【详解】因为，，且，所以，解得.故答案为：1.14．若斜率为1的直线l过抛物线焦点，交抛物线于A，B两点，且，点O为坐标原点，则点O到直线l的距离为______.【答案】【分析】设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示焦点弦长，即可求，并代入点到直线的距离求解.【详解】设抛物线的焦点坐标为，则直线l的方程为，代入，得，得，得，解得，即直线l的方程为.故点O到直线l的距离为.故答案为：15．已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.【答案】##【分析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知∴∴.故答案为： 四、双空题16．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.【答案】     ；     【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.【详解】因为点在直线上，所以，所以数列是以，公差为的等差数列，所以；因为，所以，于是，故答案为：； 五、解答题17．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切．(1)求圆的标准方程;(2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先设出圆M的标准方程，再根据过点及圆M与直线相切建立方程组求解即可；（2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解.【详解】（1）设圆M的标准方程为：则圆心M到直线的距离为由题意得，解得或舍去.所以，所以圆M的方程为．（2）设直线l的方程为则圆心M到直线l的距离为，因为，解得，则直线的方程为．18．已知正项数列的前项和满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用可求出其通项公式，（2）由（1）得，然后利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】（1）因为，，，两式相减得到当时，可得，因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列所以的通项公式为.（2）令，则，因为，，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以19．如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．(1)在侧棱上作出点，满足平面，并给出证明；(2)求二面角的余弦值及点到平面的距离．【答案】(1)作图见解析，证明见解析(2)， 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解【详解】（1）设的中点为，的中点为，则，，则，平面，平面，平面．（2）设是边的中点，是的中点，则平面ABC，为正三角形，所以，，，，两两垂直，建立如图所示坐标系．则，，，，，设平面的法向量为，所以则，平面的法向量为，，所以二面角的余弦值为．，设点到平面的距离为，则．20．已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得.（2）利用错位相减求和法求得.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，则所以，解得，所以.（2），所以，，两式相减得，所以.21．四棱锥，底面为矩形，侧面底面，．(1)证明：；(2)设与平面所成的角为，求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理与性质定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，【详解】（1）取中点，连接，由，故，而平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，，而，故，故，而平面，平面，，平面，又平面，，（2）如图所示建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，，设平面的一个法向量为，则，令得，而与平面所成的角为，故，解得，而，，，，设平面的一个法向量为，则，令得，同理得平面的一个法向量为则，而二面角为钝角，故二面角大小为22．已知O为坐标原点，定点，定直线，动点P到直线的距离设为d，且满足：．(1)求动点P的轨迹曲线W的方程．(2)若直线与曲线W交于A，B两点，求面积的最大值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）设点，根据题意得到，化简得到轨迹方程为；（2）将直线与椭圆联立得，则得到，，利用弦长公式求出，再求出点到直线距离，写出面积表达式为，利用基本不等式即可求出最值.【详解】（1）设点，由题知：，所以，整理得点P的轨迹方程：．（2）设将代入得：，所以，，得，，点O到直线m的距离，所以，所以，当且仅当即，即时等号成立，此时满足，所以面积最大值为．