2022-2023学年广东省广州市协和中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市协和中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．与向量平行，且经过点的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用点斜式求得直线方程.

【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，

所以所求直线方程为，即.

故选：A

2．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率.

【详解】依题意可知，

所以.

故选：B

3．如图，在平行六面体中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．

【详解】

连接，可得，又，

所以．

故选：B.

4．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小

【详解】

则有：

故有：

故选：D

5．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.

【详解】

，

故选：D．

6．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程.

【详解】若过的直线与平行，因为，

故直线的方程为：即.

若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，

故直线的方程为：即.

故选：D.

7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.

【详解】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.

【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.

8．P为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由椭圆的，，所以，可得动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，即可求得动点Q的轨迹方程.

【详解】由可得：，

因为，，

所以，

所以动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，

故动点Q的轨迹方程为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法

（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；

（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；

（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；

（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；

（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.

二、多选题

9．已知直线：，：，则下列结论正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，在x轴上的截距相等则

D．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍

【答案】AB

【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD选项的正确性.

【详解】若，则，得，选项A正确；

若，则，得，选项B正确；

若，在x轴上的截距相等，则，解得，选项C错误；

当时，的倾斜角恰好是的倾斜角的2倍，选项D错误．

故选：AB

【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.

10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．函数为偶函数

B．函数在上单调递增

C．若，则的最小值为

D．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象

【答案】BC

【分析】根据函数的图象关于直线对称，由求得函数的解析式，再逐项判断.

【详解】因为函数的图象关于直线对称，

所以，即，

又因为，则，

所以，

A.函数为奇函数，故错误；

B. 因为，则，又 在上递增，所以函数在上单调递增，故正确；

C. 因为，则 分别为函数的最大值和最小值，则的最小值为，故正确；

D.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故错误；

故选：BC

11．下列说法正确的是（    ）

A．设是两个空间向量，则一定共面

B．设是三个空间向量，则一定不共面

C．设是两个空间向量，则

D．设是三个空间向量，则

【答案】AC

【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可．

【详解】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确；

对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；

对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；

对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．

故选：AC．

12．已知双曲线C：，则（    ）

A．双曲线C与圆有3个公共点

B．双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1

C．双曲线C与双曲线有相同的渐近线

D．双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同

【答案】BCD

【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.

【详解】解：作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，，，，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为，

离心率为，易知选项BCD正确．

故选：BCD

13．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，则下列结论正确的是（    ）

A．四边形面积的最小值为

B．四边形面积的最大值为

C．当最大时，

D．当最大时，直线的方程为

【答案】AD

【分析】分析可知当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断AB选项，分析出四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断CD选项.

【详解】如下图所示：

由圆的几何性质可得，，

由切线长定理可得，又因为，，所以，，

所以，，

因为，当时，取最小值，

且，所以，四边形的面积的最小值为，A对；

因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，B错；

因为为锐角，，且，

故当最小时，最大，此时最大，此时，C错；

由上可知，当最大时，且，

故四边形为正方形，且有，则的方程为，

联立，可得，即点，

由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，D对.

故选：AD.

三、填空题

14．命题“，”的否定为__________．

【答案】

【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为“”

15．设向量，，，则实数________.

【答案】

【解析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解.

【详解】因为，

所以，

解得.

故答案为：.

【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

16．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.

【答案】

【分析】求出底面半径，代入公式即可.

【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，

所以圆锥的母线长为，

设圆锥的底面半径为，则，所以，

所以圆锥的表面积为.

故答案为：.

17．一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.

【答案】

【分析】设动圆的圆心为，半径为R，根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，两式相加得到，再根据椭圆的定义求解.

【详解】设动圆的圆心为，半径为R，

因为动圆与圆外切，与圆内切，

所以，

所以，

所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，

所以，

所以动圆圆心的轨迹方程为，

故答案为：

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题

18．已知圆D经过点A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.

(1)求圆D的标准方程；

(2)若直线l：与圆D交于M、N两点，求线段MN的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆D的标准方程，利用待定系数法即可得出答案；

（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.

【详解】（1）解：设圆D的标准方程，

由题意可得，解得，

所以圆D的标准方程为；

（2）解：由（1）可知圆心，半径，

所以圆心D（1，0）到直线l：的距离，

所以.

19．已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.

（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．

【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为，

∴抛物线定义知：可得，故

（2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设

联立方程，得，

整理得，则.

又P是线段AB的中点，∴，即

故l

20．如图，平面平面，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)过点分别作、的平行线，交点为、，利用平行关系和线段长度关系证明四边形为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明平面；(2)利用面面垂直的性质得到平面，从而，又由，得.

【详解】(1) 证明：过点作的平行线，交于点，连接.

过点作的平行线交于点，连接.

则四边形为平行四边形，有平行且等于.

因为，所以.

因为，所以，

故，所以，

又，所以四边形为平行四边形，有平行且等于，

所以平行且等于，四边形为平行四边形，有.

又平面，平面，所以平面.

(2)证明：因为，，所以.

因为平面与平面垂直，且交线为，又平面，

所以平面，又平面，所以.

又由(1)知，所以.

21．已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．

①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设椭圆C的方程为（），，由题意可得.

选①：可得即可求解椭圆方程；选②：可得即可求解椭圆方程；选③：可得即可求解椭圆方程；

（2）根据椭圆的定义，结合勾股定理可得，再求解面积即可.

【详解】（1）设椭圆C的方程为（），，则椭圆与椭圆具有共同的焦点，则．

选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．

选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．

选②，由已知可得，则，所以，椭圆的方程为．

（2）由椭圆的定义知，①

又因为，所以，②

由①②可得，解得，因此．

22．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．

(1)求证：平面ACF；

(2)在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，的长为或，理由见解析.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求得的长.

【详解】（1）依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，

底面ABCD为直角梯形，其中，，，，

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

，，

设平面的法向量为，

则，故可设，

由于，

所以平面.

（2）存在，理由如下：

设，，

，

，

依题意与平面所成角的正弦值为，

即，

，解得或.

，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.

23．已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.

(1)求动点P的轨迹的方程；

(2)过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，T(0，1)﹒

【分析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；

(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.

【详解】（1）由题可知，，

则，

由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，

∴，∴，

∴P的轨迹方程为C：；

（2）假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，

联立，化为，易知恒成立，

∴(*)

由题可知，

将(*)代入可得：

即

∴，解，

∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.