2022-2023学年广东省惠州市高二上学期期末数学试题（解析版）

惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测

高二数学试题

全卷满分150分，时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.

2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.

3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.过点且平行于直线的直线方程为（）

A.B.

C.D.

2.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）

A.1B.C.2D.

3.棱长为1的正四面体中，则等于（）

A.0B.C.D.

4.已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）

A.B.

C.D.

5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）

A.B.C.D.

6.直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（）

A.B.

C.D.

7.已知直线的方程是的方程是，则下列图形中，正确的是（）

A.B.

C.D.

8.在数列中，若（为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：

①若是等方差数列，则是等差数列；

②不是等方差数列；

③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列；

④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.

其中正确命题序号为（）

A.①③B.②④C.①③D.①④

二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）

A.为等差数列B.

C.最小值为D.为单调递增数列

10.已知空间中，则下列结论正确的有（）

A.B.与共线的单位向量是

C.D.平面的一个法向量是

11.已知曲线，则下列判断正确的是（）

A.若，则是圆，其半径为

B.若，则是双曲线，其渐近线方程为

C.若，则是椭圆，其焦点在轴上

D.若，则是两条直线

12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（）

A.椭圆的长轴长为

B.的周长为

C.线段长度的取值范围是

D.面积的最大值是

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线的焦点坐标为__________.

14.已知双曲线经过点，则离心率为__________.

15.已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程__________.（写出一个正确答案即可）

16.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.

（1）求证：；

（2）求与所成角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

已知为平面内的一个动点，且满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度.

20.（本小题满分12分）

已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求面积的最小值.

21.（本小题满分12分）

如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

22.（本小题满分12分）

已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.

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高二数学参考答案与评分细则

一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.

1.【解析】设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得，所以所求的直线方程为.

2.【解析】设等差数列的公差为.由已知条件，得，即，解得.

3.【解析】由题意以作为基底，，

则

4.【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，则，故椭圆方程为.

5.【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是.

6.【解析】由，则令，解得故直线过定点，由，则圆心，半径，当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，故直线为，则.

7.【解析】逐一判定即可.

对于A，由的图象知，由的图象知，故A正确；

对于B，由的图象知，由的图象知，矛盾，故B错误；

对于，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误；

对于D，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误.

8.【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公差为的等差数列；故①正确

②数列中，，所以是等方差数列；故②不正确

③数列中的项列举出来是数列中的项列举：

，即数列是等方差数列，故③正确；

④数列是等差数列，数列是等方差数列，，当时，为常数列；当，数列为常数列.则该数列必为常数列，故④正确.

正确命题的是①③④，故A正确.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.【解析】对于A，当时，，

时满足上式，所以，所以，

所以为等差数列，故正确；

对于B，由上述过程可知，故B错误；

对于C，因为，对称轴为，又因为，所以当或3时，最小值为，故错误；

对于D，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D正确.

10.【解析】对于，故正确；

对于不是单位向量，且与不共线，错误；

对于正确；

对于，设，则，，所以，又，所以平面的一个法向量是正确.

11.【解析】对于，若时，转化为，半径为，故错误；

对于，若，当是焦点在轴上的双曲线，当是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是的渐近线，B正确；

对于，若转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；

对于，若转化为，是双曲线不是两条直线，故D错误.

12.【解析】对于，由题知，椭圆中，得，则，故错误；

对于，由定义知，的周长正确；

对于，由性质知，所以正确；

对于，设所在直线方程为，联立可得，

联立可得，则显然，当增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D错误.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.14.16.

14.（写出一个即可）

【注】若答案形式为：，则系数必须满足：

若答案形式为：，则系数必须满足：

13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为

14.【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，，所以它的离心率为.

15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求，

设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为，

所以

16.【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为，

平面的法向量可取为，平面的法向量可取为，

直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则，令，则，故设直线与平面所成的角为，

则，故答案为：

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.）

【解析】（1）当时，

因为也满足上式，

（2），则

所以是以0为首项，为公差的等差数列

故

18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）

【解法一】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系

所以

因为

所以

即

（2）由（1）知，

则

所以

所以与所成角的余弦值是

【解法二】由题意得：在中有：，

在中有：

在正方形中，

在中有：

所以有：

（2）连接，取的中点，连接，

四边形为平行四边形

在Rt中有：，

在Rt中有：，

在中有：

所以与所成角的余弦值为

19.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）

【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由得

整理得点的轨迹方程为.

（2）由（1）可知，曲线

则圆心坐标为，

半径为

则圆心到直线的距离，

所以弦的长度

直线被曲线截得的线段长度为

20.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.）

【解析】（1）由抛物线经过点知，

解得，

则抛物线的方程为；

（2）【解法一】由题知，直线不与轴垂直，设直线，

由消去，得，

，设，

则，

因为，所以即，所以

解得（舍去）或，

所以即，

所以直线，所以直线过定点，

当且仅当或时，等号成立，

所以面积的最小值为4.

【注：面积也可以用的方式来计算

【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0

不妨设直线方程为，代入由可得

当且仅当时等号成立

所以面积的最小值为4

【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时，

当直线斜率存在时，设直线，

由消去，得，

则，

因为，所以即，

所以

解得（舍去）或，

所以直线，所以直线过定点，

综上：面积的最小值为4.

21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）

（1）证明：连接交于，则是的中点，

连接，是的中点，，

平面，平面，

平面；

又，平面，平面，

平面，

又与相交于点，平面，

所以平面平面.

（2）【解法一】解：连接，因为四边形是菱形，所以，

又，，所以为等边三角形，所以，又，

所以且，所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，所以平面，

如图，以为坐标原点，分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设面的法向量为，

依题意有，则，

令，，，则，

所以，

所以直线与面成的角的正弦值是.

【解法二】连接，因为四边形是菱形，所以，

所以为等边三角形，所以，又，

所以且，所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，所以平面，

在Rt中，，

在Rt中，

又在中，由等腰三角形易计算得

设为点到平面的距离

计算得：

设直线与平面所成的夹角为，则

所以直线与面成的角的正弦值是.

22.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）

【解析】（1）双曲线的渐近线为，

又，结合已知条件可知渐近线的的倾斜角为

则，即.

又，得

所以双曲线的方程是.

（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，

代入，得，即.

设点，则.

设点，则

令，得，

此时.

当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点.

对于点.

所以存在定点，使为定值.