2022-2023学年广东省清远市高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省清远市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知数列，…，则该数列的第200项为（    ）

A．10 B．10 C．10 D．10

【答案】B

【分析】根据所给数列归纳通项公式为，从而得解.

【详解】由题可得该数列的通项公式为，

所以.

故选：B.

2．已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（    ）

A．3 B．6 C．12 D．6

【答案】B

【分析】根据双曲线的焦距得到c=6，根据双曲线为等轴双曲线得到a=b，然后利用列方程得到a=3，即可得到实轴长.

【详解】因为2c=12，所以c=6．因为a=b，所以2a2=c2=36，所以a=3，故实轴长为6．

故选：B.

3．已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（    ）

A．8 B．4 C．2 D．4

【答案】B

【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解.

【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，

故长轴长为2=4．

故选：B.

4．已知数列满足，其前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．0

【答案】D

【分析】求出数列的周期，从而利用周期进行求和.

【详解】当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以是周期为4的周期数列，且，所以．

故选：D

5．在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上一点，且5=t+2+3，则t=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．-2

【答案】C

【分析】根据四点共面的性质进行求解即可.

【详解】因为5=t+2+3=t+2+3（-），

所以8=t+2+3，即=++．

因为M是平面ABC上一点，所以++=1，所以t=3．

故选：C

6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ）

A． B．43 C． D．41

【答案】A

【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.

【详解】设，则，

因为为等比数列，

所以，，仍成等比数列．

因为，所以，

所以，故．

故选：A.

7．若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是(    )

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解

【详解】如图，

曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，

因为直线即与半圆相切，所以，解得．

因为所以，

又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，

所以实数k的取值范围是

故选：B

8．已知数列{an}的前n项和为，且满足，若存在实数λ，使不等式对任意n∈N*恒成立，则λ的最大值为（    ）

A．-24 B．-18 C．- D．-

【答案】A

【分析】先通过递推公式求出的通项公式，再通过与的关系求出的通项公式，代入不等式即可表达出关于的表达式，再利用作差法即可求出的最大值.

【详解】因为，所以．因为，

所以{}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以，所以，

所以（n=1也满足）．

因为，所以，

即．令，

==，

所以，

所以，

故λ的最大值为．

故选：A.

二、多选题

9．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=66，a2+a4+a6=57，则（    ）

A．{an}的公差为-2 B．{an}的通项公式为an=31-3n

C．{an}的前n项和为 D．{|an|}的前50项和为2575

【答案】BC

【分析】根据等差中项的性质得到，，然后求公差，即可判断A选项；根据，得到，然后求通项即可判断B选项；利用等差数列求和公式得到即可判断C选项；根据得到当时，，即可得到的前50项和为，然后代入求和即可判断D选项.

【详解】设的公差为，前项和为，因为，，

所以，，所以，故A错．

因为，所以，故B正确，

，故C正确，

当时，，所以的前50项和为，故D错.

故选：BC.

10．已知直线与直线，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．被圆截得的弦长的最小值为

D．若圆上有四个点到的距离为1，则

【答案】BC

【分析】A选项，由直线垂直列出方程，求出；B选项，由直线平行列出方程，求出的值；C选项，求出直线过定点，确定当直线与垂直时，截得的弦长最短，求出最小值；D选项，数形结合得到圆心到的距离小于1，列出不等式，求出的取值范围.

【详解】若，则，解得，故A不正确；

若，则，解得或m=5．

当m=5时，重合，当时，符合题意，故B正确．

因为直线过定点，的圆心为，，

当直线与垂直时，即当m=2时，被圆截得的弦长最短，最小值为，故C正确．

因为圆的圆心，半径为2，

上有四个点到的距离为1，所以圆心到的距离小于1，

由，解得或，故D不正确．

故选：BC

11．如图，在四棱锥中，平面，，， ，，为的中点，则（    ）

A．

B．异面直线与所成角的余弦值为

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．点到直线的距离为

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系，根据题意求出点的坐标，利用空间向量的方法逐项分析即可求解.

【详解】过作，垂足为，则，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．则，，，，．

因为，故选项正确；

因为，

所以直线与所成角的余弦值为，故选项错误；

设平面的法向量为，

则，令，得．

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为，故选项正确；

设点到直线的距离为，则，

即点到直线的距离为，故选项正确，

故选：.

12．如图，圆锥PO的轴截面PAB为直角三角形，E是其母线PB的中点．若平面α过点E，且PB⊥平面α，则平面α与圆锥侧面的交线CED是以E为顶点的抛物线的一部分，设此抛物线的焦点为F，且CF=3．记OD的中点为M，点N在曲线CED上，则（    ）

A．圆锥PO的母线长为4

B．圆锥底面半径为2

C．建立适当坐标系，该抛物线的方程可能为y2=6x

D．|MN|+|NF|的最小值为3

【答案】ABD

【分析】设圆锥PO的母线PA=2a，根据圆锥的轴截面为直角三角形得到底面半径为a，然后以E为原点，EO所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到C（a，-a），然后利用抛物线的定义和点在抛物线上列方程得到a=p=2，即可判断ABC选项；根据几何知识得到当MN平行于x轴时，|MN|+|NF|取得最小值，然后得到最小值即可判断D选项.

【详解】设圆锥PO的母线PA=2a，则底面半径为a．

以E为原点，EO所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则C（a，-a），设抛物线的方程为y2=2px（p>0），

因为|CF|=a+=3，2a2=2pa，所以a=p=2，所以圆锥PO的母线长为4，底面半径为2，故A，B正确．

因为该抛物线的方程为y2=4x，M（2，），且|NF|=xN+1，所以|MN|+|NF|=|MN|+xN+1．当MN平行于x轴时，|MN|+|NF|取得最小值，最小值为xM+1=3，故C不正确，D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则Q到平面的距离为______．

【答案】##

【分析】求出，得到点到平面的距离公式求出答案.

【详解】因为，

所以Q到平面的距离为.

故答案为：

14．已知两圆与外离，则整数m的取值是______．

【答案】

【分析】分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，即可解出的取值范围，再取整数即可得到结果.

【详解】因为圆的圆心为，半径

圆的标准方程为，所以，即；

圆的圆心为，半径

两圆圆心的距离为，

由两圆外离可得，即，解得

所以，

故整数m的取值为.

故答案为：

15．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若三棱锥的体积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为___________.

【答案】

【分析】，所以，由基本不等式和勾股定理可求得球体半径的最小值，再求最小表面积.

【详解】如图所示，取的中点，过作，且，

因为平面，所以平面.

因为，所以，所以，

所以是三棱锥外接球的球心，为球的半径.

因为，所以.

因为，所以球的半径，

当且仅当时，等号成立，此时，所以，故所求表面积的最小值为.

四、双空题

16．一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格．记跳到第格可能有种情况，若，的前项和为，则=______，=______．

【答案】     34     231

【分析】由题意得出递推公式，逐个代入依次求解出至，即可得出，.

【详解】根据题意，跳到第格有两种可能，一种是从第格跳过来，有种方式，

另一种是从第格跳过来，有种方式，所以．因为

所以.

故答案为：34；231

五、解答题

17．设等差数列的前n项和为，且，．

(1)求的通项公式．

(2)令，数列的前n项和为．证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式；

（2）化简得到，裂项相消法求和，证明出结论.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

则，

解得，因此；

（2）证明：因为，

所以，

所以.

18．已知的顶点分别为．

(1)求外接圆的方程；

(2)设P是直线上一动点，过点P作外接圆的一条切线，切点为Q，求最小值及点P的坐标．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）设出圆的一般方程将三点坐标代入，利用待定系数法即可求得外接圆的方程；（2）根据切线长公式可知，当与圆心之间的距离最小时，切线长最小，根据点到直线距离公式和两直线垂直关系即可求得最小值及点P的坐标.

【详解】（1）设外接圆的方程为，

将分别代入圆方程可得，解得，

所以△ABC外接圆的方程为.

（2）外接圆的圆心为,半径；

因为，所以要使最小，只需最小即可，

当时，最小，所以，

所以；

设，则；

解得，

即点P的坐标为.

19．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点．

(1)证明：BC⊥C1E．

(2)设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明直线垂直；

（2）用空间向量法求点面距，根据条件列方程求出参数值．

【详解】（1）以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，,

所以=，=，

所以·=2×2+0+2×=0，

所以⊥，故BC⊥C1E；

（2）因为=，=，

所以=+=+λ=，

设平面BB1M的法向量为，

则，令x=1+λ，则，

因为=，

所以C1到平面BB1M的距离，

解得．

20．已知数列的前n项和为，满足，是以为首项，且公差不为0的等差数列，成等比数列．

(1)求，的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据求出，故是首项为-1，公比为-2的等比数列，求出通项公式，再设出等差数列的公差，列出方程，求出公差，得到通项公式；

（2）求出，错位相减法求和.

【详解】（1）因为，所以当n=1时，，所以,

当时，，

两式相减可得，，所以，

所以是首项为-1，公比为-2的等比数列，

所以

设等差数列的公差为d，

因为，所以．

因为成等比数列，所以，

解得：d=0（舍去）或d=，

所以；

（2）

故，

所以，

两式相减得

所以.

21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin =sin C，且a=1．

(1)求A；

(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．

【答案】(1)

(2)2-3

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到sin=，即可得到；

（2）根据AB=AC，A=，得到△ABC为等边三角形，然后在△BDE中利用余弦定理得到CD=2-BE+，最后利用基本不等式求最值即可.

【详解】（1）因为csin =sin C，且a=1，所以csin =asin C，

所以sin Csin =sin Asin C.

因为C∈(0,π)，sin C≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sin A，即cos =sin A，

所以cos =2sin cos .

因为∈(0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.

（2）

因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.

如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，

由余弦定理得cos B=，

所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，

所以CD=2-BE+，

因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，

当且仅当2-BE=，即BE=2-时，等号成立，

所以CD的最小值为2-3.

22．法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．

【答案】(1)-=1

(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线性质与蒙日圆的定义即可求解；（2）设出直线与双曲线联立消，求出韦达定理的表达式，根据DG⊥EF求出的关系式，代入直线即可求出定点H.

【详解】（1）由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，

所以a2-b2=1，所以b=2，

故双曲线C的标准方程为-=1，

（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，

联立方程组化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，

则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，

且

因为·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，

所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9

=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，

化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，

所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0

当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，

当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）

当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，

联立方程组得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．

因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．

故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.

【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.