2022-2023学年广东省汕头市潮阳区高二上学期期末数学试题 解析版

潮阳区2022—2023学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学

本试题满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答卷前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校､姓名和考生号.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.

3.非选择题必须黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知命题：,，则命题的否定为（）

A. , B. ,

C. , D. ,

【答案】C

【解析】

【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，变换量词，否定结论.

【详解】因为存在量词命题否定是全称量词命题，

已知命题：,，

所以命题的否定为：,.

故选：C.

2. 直线的倾斜角为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用直线斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】解：设直线的倾斜角为，

因为直线的斜率为，

所以，又，

所以，

故选：A

3. 已知i为虚数单位，复数z满足，则的值为（）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再利用复数模的定义计算作答.

【详解】由得：，则，

所以.

故选：C

4. 某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：均值为;

方差为

,故选D.

考点：数据样本的均值与方差.

5. 如图，在直三棱柱中，若，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合向量的加法和减法运算直接化简即可.

【详解】由题意可得.

故选：B

6. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）

A. 42名 B. 32名 C. 24名 D. 18名

【答案】D

【解析】

【分析】只要第二天能把原有积压500份和第二天新订单（按1600份计算）消化掉，就能满足题意.

【详解】由于“第二天的新订单超过1600份的概率为0.05”，即“第二天的新订单量小于或等于1600份的概率为0.95”，

所以只要第二天能把原有积压500份和第二天新订单（按1600份计算）消化掉，就能满足题意：

第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，第二天新增积压订单数为，两天共积压份，

因为，故至少需要志愿者名.

故选：D

7. 已知正项等比数列满足，则的最小值为（）

A. 1 B. 2 C. 1011 D. 2022

【答案】B

【解析】

【分析】先根据等比中的性质和对数的性质求出的值，再利用基本不等式即可求出其最小值.

【详解】

所以，又数列{}是正项等比数列，

所以

所以

故选：B.

8. 已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（）

A. 45 B. 9 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，，由题设可得、、，进而可得，进而化简，即可得结果.

【详解】令，，则，，

由，故，则，

而，，则，，

所以，故，

.

故选：B

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列各式比较大小，正确的是（）

A1.72.5＞1.73 B.

C. 1.70.3＞0.93.1 D.

【答案】BC

【解析】

【分析】A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．

【详解】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，

∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，

对于选项B：＝，

∵函数y＝2x在R上单调递增，且，

∴＝，故选项B正确，

对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，

∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，

对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，

∴，

又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，

∴，

∴＜，故选项D错误，

故选：BC．

10. 已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（）

A. 准线l的方程为 B. 矩形MQPF为正方形

C. 点M的坐标为 D. 点M到原点O的距离为

【答案】ABD

【解析】

【分析】各选项根据抛物线的定义和性质可以得出结论.

【详解】由抛物线C：，得其准线l的方程为，A正确；

由抛物线的定义可知，又因为四边形MQPF为矩形，所以四边形MQPF为正方形，B正确；

所以，点M的坐标为，所以，C错误，D正确．

故选：ABD．

11. 正方体中，为中点，下列说法正确的是（）

A. 直线与面夹角的余弦值为

B. 直线与直线夹角为

C. 面截正方体所得截面图形为等腰梯形

D. 若面与面所成锐二面角的平面角大小为，则

【答案】AC

【解析】

【分析】以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，由异面直线所成角、线面角、二面角的向量计算公式可判断A，B，D；求出面截正方体所得截面图形可判断C.

【详解】对于A，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的边长为，所以，，，

设面，

所以，

，令，，

所以，设直线与面所成角为，

所以，

所以直线与面夹角的余弦值为，故A正确；

对于B，，，，则，，

设直线与直线夹角为，

所以，

，直线与直线夹角为，故B不正确；

对于C，取的中点为，连接，易证得：，所以四点共面，

所以面截正方体所得截面为四边形，

因为，，

所以，，所以面截正方体所得截面图形为等腰梯形，故C正确；

对于D，，

设面，所以，，

所以，令，，

所以，设面，所以，，

所以，令，，

所以

设面与面所成锐二面角的平面角大小为，

所以，

，，

则，，

解得：或（舍去），

故D不正确.

故选：AC.

12. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）

A. 的图像关于点对称

B. 的图像关于直线对称

C. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像

D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

【答案】BD

【解析】

【分析】根据图像周期性求出，代入特殊点求，得到，对四个选项一一验证，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，根据函数值的正负进行判断.

【详解】由题图可得，，故，

所以，又，即，

所以，，又，所以，所以.

对于A：当时，，故A错误；

对于B：当时，，故B正确；

对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数，

的图像，故C中说法错误；

对于D：当时，，则当，即时，单调递减；当，即时，单调递增，

因为，，，

所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是.

故选：BD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数的对应关系如下表，则__________.

【答案】25

【解析】

【分析】首先从表中找到，求的值，同理再求的值.

【详解】从表中找到，得，

所以==25，

故答案为：25.

14. 设等差数列的前项和为，若，则__________.

【答案】24

【解析】

【分析】根据等差数列的性质与前项和公式计算．

【详解】是等差数列，

∴，，

．

故答案为：24.

15. 已知分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的离心率为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】设（），则，，由勾股定理得，由双曲线的定义求得关系，再由双曲线的定义求得，然后由勾股定理求得与的关系，计算可得离心率．

【详解】由题意可设（），则，，由勾股定理明显有，

又由双曲线定义可知，所以

又即，

所以

所以离心率.

故答案为：.

16. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是______

【答案】6

【解析】

【分析】

分析各正方体的边长，利用等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】底层正方体的表面积为，

第层正方体的棱长为，每个面的面积为，

第层正方体的棱长为，每个面的面积为，

，

第层正方体的棱长为，每个面的面积为，

则该几何体为层，则它的表面积为

，

，解得，

该塔形中正方体的个数至少是6.
故答案为：6

【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.

四､解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知圆，直线.

（1）求证：任意，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）当时，求直线被圆截得的弦长.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）求含参直线所恒过的定点，定点在圆的内部，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）求圆心到直线的距离，根据勾股定理求半弦长，再求出弦长.

【小问1详解】

直线恒过定点，

又，

所以点在圆的内部，

所以直线与圆总有两个不同的交点.

【小问2详解】

由题设，，又圆C的圆心为，半径为r=2，

所以到直线的距离，

所以弦长为.

即直线被圆截得弦长.

18. 已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求的最大值和最小值．

【答案】（1），；

（2）最大值16，最小值8

【解析】

【分析】（1）根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列公比求解作答.

（2）由（1）可得，再分为奇数与偶数时，结合的单调性求解即可.

【小问1详解】

设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，

设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，

所以数列，的通项公式分别为，.

【小问2详解】

由（1）知，，

当时，，此时数列是递减的，恒有，此时；

当时，，此时数列是递增的，恒有，此时；

综上可得，的最大值为16，最小值为8.

19. 如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【解析】

【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得结论；

（2）作，垂足为H，得平面，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由线面垂直的性质定理得线线垂直，求得图形中的线段长得出点坐标，然后用空间向量法求线面角．

【小问1详解】

由已知可得，，，

又，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

【小问2详解】

作，垂足为H，又平面平面，平面平面，

平面，所以平面，

以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，

因为，平面，所以平面，平面，

所以，又，所以，又，

故.可得，

则，，则，

易知平面的一个法向量为，

所以，

设与平面所成角为，则，

∴，即与平面所成角的余弦值为.

20. 设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，．

（1）证明：；

（2）若D是BC边上的中点，且，求的值．

【答案】（1）证明见解析；

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角正弦公式和正弦定理和余弦定理将转化为关于a，b，c的关系式，化简整理即可得到；

（2）利用三角形中线的性质和（1）的结论列出关于a，b，c的方程组，进而得到a，b，c之间的关系，利用余弦定理即可求得的值．

【小问1详解】

中，由，可得

则，则，整理得

即，又，则

【小问2详解】

中，D是BC边上的中点，且，则

则有，解之得

则

21. 我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，有600名学生选择物理科，400名学生选择历史科.分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表（下表）：

（1）利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图（如图）；

（2）从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率.

【答案】（1）答案见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩 , 反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，然后根据数据绘制出直方图即可；

( 2 ) 利用互斥事件的加法公式，即可得出结论.

【小问1详解】

解：由表格数据知，随着数学成绩分数的提升，选择物理方向学生的占比有明显的提升.

所以数学成绩越好，其选择物理科方向的概率越大.

频率分布直方图如下：

【小问2详解】

解：设“选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科的学生的数学成绩一个分数段”为事件C

选择物理科的学生考分在，，分别事件，，，

选择历史科的学生考分在，，的事件分别为，，

由表得､，，

因为“选择物理科学生考分在何分数段”与“选择历史科的学生考分在何分数段”相互独立，

，，，，，也明显互斥

所以

.

22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为4．

（1）求E的方程；

（2）设任意过的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过作平行于l的直线分别交于A，B，求的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据焦距和短轴的公式求解即可；

（2）设的方程为，，联立直线与椭圆的方程，根据椭圆的切线方程，联立可得，设的中点为，根据韦达定理可得，再结合三角形与椭圆的性质可得四点共线，从而化简，再根据的横坐标关系，结合参数的范围求解即可

【小问1详解】

由题意，，，解得，，故椭圆

【小问2详解】

由题意，，显然的斜率不为0，故设的方程为，，

则，即，故，.联立过的切线方程，即，

相减可得，即，

化简可得.代入可得，故.

设的中点为，则，，故.因为，，故，

所以三点共线.又作平行于l的直线分别交于A，B，易得，取中点，根据三角形的性质有四点共线，

结合椭圆的对称性有，当且仅当时取等号.

故

【点睛】方法点睛：根据直线与椭圆的位置关系，结合向量的性质，联立方程利用韦达定理证明三点共线与求取值范围的问题.需要根据题意联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到的坐标，再根据三角形与向量的性质转化所求的量从而进行简化求解范围.属于难题