2022-2023学年广东省肇庆市端州中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省肇庆市端州中学高二上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省肇庆市端州中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由所给直线方程求出直线的斜率，结合直线倾斜角范围即可得解.【详解】由直线得它的斜率，设直线倾斜角为，则，显然，于是得，解得，所以直线的倾斜角是.故选：D2．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C．若对空间中任意一点，有，则四点共面D．若，则的夹角是钝角【答案】C【分析】根据向量的定义以及运算规则逐项分析可以求解.【详解】解：对A，若两个向量是共线的，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，故错误；对B，因为 ，所以共面，不能构成基底，错误；对C，对 ，则四点共面，由可得 ，且，所以四点共面，正确；对D，若可为，所以不一定为钝角，故错误；故选：C3．已知方程表示圆，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵方程x2+y2-2x+2y+a=0表示圆，∴22+22-4a＞0∴4a＜8∴a＜2，故选C．4．两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.【详解】由直线与直线平行，得，解得，所以两直线分别为和，即和，所以两直线间距离，故选：D.5．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，设，，，是的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法、减法和数乘运算，用表示出.【详解】.故选：B【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法和数乘运算.6．设，向量，，，且，，则（    ）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得的值，得到向量，进而求得，得到答案.【详解】由题意，向量，，，因为，可得，解得，即，又因为，可得，解得，即，可得，所以.故选：C.7．已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.【详解】直线过点，画出图象如下图所示，，，由于直线与线段AB没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意，当时，直线的斜率为，根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是.故选：A8．如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解【详解】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，，，，设，则，已知，因为，，所以，可得，即，所以，所以，则，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选：B． 二、多选题9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ）A．与共线的单位向量是B．C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是【答案】BD【分析】根据共线向量的定义判定A选项；向量垂直，则其点乘为0，判定B选项；利用向量夹角公式判定C选项；D选项，将代入计算，即可.【详解】解：，与不共线，故A错误；，，，故，故B正确；，C错误；设，则，，所以，又，且平面，所以平面的一个法向量是，D正确.故选：BD.10．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】设出直线的点法向式方程为(、不同时为)，先讨论或均不合题意，即，然后求出横纵截距，由两截距相等得出，代入即得直线方程．【详解】设所求直线方程为(、不同时为)，显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为，当时，，当时，，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，令，则，整理，得，解得，或，则，或，故所求直线方程为或，故选：AC.【点睛】方法点睛：本题考查直线的截距问题．在不学直线的点法向式方程的地区，一般直线在坐标轴的两截距相等，可分类讨论，分截距为0和截距不为0两类，截距为0时设直线方程为求解，截距不为0时设直线方程为求解．两截距一个是另一个倍数问题也一样．11．已知圆，直线，则下列命题正确的是（    ）A．直线l恒过定点B．圆C被y轴截得的弦长为C．直线l与圆C恒相离D．直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为【答案】ABD【分析】A由，联立求定点；B令求y轴交点纵坐标即可得弦长；C判断A中定点、圆心距离与半径大小判断直线与圆位置；D根据直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数m，即可得方程.【详解】由，则，得，即l恒过定点，A正确；令，则，可得，故圆C被y轴截得的弦长为，B正确；由到圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，C错误；要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，所以，可得，故直线l为，D正确.故选：ABD12．如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（    ）A．平面B．平面C．存在点，满足D．的最小值为【答案】AD【分析】对于A，在平面找一条直线，使其与平行即可；对于B，先由证明四点共面，再证四点共面，进而能判断直线与平面的位置关系；对于C，以为正交基底，建立空间直角坐标系，用坐标运算即可；对于D，把三棱锥的正面和上底面展开，即能找到的最小值，构造直角三角形求解即可.【详解】对于A，连接，分别是棱的中点，且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面在平面内，所以平面，故A正确；对于B，易知，所以四点共面，又点，所以四点共面，平面，而平面，直线平面，故B不正确；对于C，以为正交基底，建立如图1所示的空间直角坐标系.则，，，，，，，若，则，，在线段延长线上，而不在线段上，故C不正确；对于D，把图1的正面和上底面展开如图2所示，连接即为所求，过做PG垂直于且与其相交于，与相交于，易得，，，，在中，，，故D正确.故选：AD 三、填空题13．化简______.【答案】【解析】根据向量加减法法则计算化简．【详解】．故答案为：．14．在空间直角坐标系中，记点关于轴的对称点为关于平面的对称点为，则___________.【答案】【分析】利用对称性求对称点坐标，应用空间两点距离公式求.【详解】依题意，关于轴的对称点为关于平面的对称点为所以.故答案为：15．已知直线，若曲线上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为________.【答案】【分析】曲线上有两点，满足关于直线对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值.【详解】曲线方程为表示圆心为，半径为3的圆，点在圆上且关于直线对称，圆心在直线上，代入得.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，圆的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题.16．在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．【答案】【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，求得点关于轴的对称点为，可得.如图所示，可得爬到的最短路程为.故答案为： 四、解答题17．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．(1)以为一组基底表示向量；(2)若，，，求．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．【详解】（1）∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴；（2）．18．已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为．(1)求点B，C的坐标；(2)求的面积．【答案】(1),(2)7 【分析】（1）设点，由题意可知点坐标满足BH的方程，再表示出的中点，代入AB边上的中线方程，解方程组可求出点的坐标，求出的斜率，可求出直线的方程，再与联立，可得点的坐标，（2）利用两点间的距离公式求出的长，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而可求出三角形的面积.【详解】（1）设点，因为在直线上，所以，  ①又，的中点为，且点在的中线上，所以，  ②联立①②，得，即点．由题意，得，所以，所以所在直线的方程为，即，  ③因为点在AB边上的中线上，所以点的坐标满足直线方程，  ④联立③④，得，即．（2）由（1）得，到直线的距离为，所以，故的面积为7．19．已知圆过，两点，且圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先设圆的一般方程为，结合题意有，解出D，E，F值，代入即可求得圆的一般方程；（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线的斜率不存在时，满足题意；②当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，由点到直线的距离公式求得的值，即可得到直线的方程，再综合在这两种情况即可．【详解】（1）设圆的一般方程为，圆心，根据题意有，解得，故所求圆的一般方程为，（2）如图所示，，设是线段的中点，则，，又，∴在中，得，当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为．当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，即，由点到直线的距离公式，得，此时直线的方程为．综上，所求直线的方程为或．20．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明过程见详解(2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理即可证明；（2）利用向量法先求得两平面的法向量的夹角的余弦值，再求正弦值即可．【详解】（1），为的中点，，侧面底面，侧面底面，平面，平面；（2）底面为直角梯形，其中，，，，又平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，易得平面的法向量，，，设平面的法向量，则，取，得，设二面角夹角为，则，则，二面角的正弦值为．21．已知直线过两直线，的交点，且分别交轴、轴的正半轴于两点．(1)若直线与垂直，求直线的方程；(2)当取最小值时，求出最小值及直线的方程．【答案】(1)(2)最小值为4，. 【分析】（1）联立两直线方程，求交点坐标，根据直线垂直可设直线方程，可代入点，解得答案；（2）由题意，设直线为截距式方程，表示出点的坐标，根据题意研究所设字母的取值范围，结合两点距离公式以及基本不等式，可得答案.【详解】（1）联立直线方程可得：，解得，则，由直线与直线垂直，则可设方程为，将代入，解得，则得方程为.（2）由（1）可知，可设直线的方程为，则，，且，即，当且仅当，即时取等号.的最小值为4，此时直线l的截距式方程为.22．如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点.(1)若是直线与平面的交点，试确定的值；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由可解得得到答案；（2）设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出确定的位置，求出平面的法向量，计算点到平面的距离，计算的面积，代入体积公式计算可得答案.【详解】（1）取的中点，连接，则，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，设，则设平面的法向量，则，所以，取，易知，所以，解得，此时；（2）设，则则，整理得，解得或（舍去），，，设平面的法向量为，则，所以，取，又，则点到平面的距离即点到平面的距离为，由已知条件，在中，，可得所以，.