2022-2023学年广西桂林市灵川县潭下中学高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广西桂林市灵川县潭下中学高二上学期11月期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西桂林市灵川县潭下中学高二上学期11月期中考试数学试题 一、单选题1．过点A（﹣3，2）与B（﹣2，3）的直线的倾斜角为（    ）A．45° B．135° C．45°或135° D．60°【答案】A【分析】由两点的斜率公式可得选项.【详解】设经过点A，B的直线的倾斜角为，则斜率为， ，∴.故选：A.【点睛】本题考查经过已知两点的直线的斜率公式，属于基础题.2．圆的圆心和半径分别是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据圆标准方程的几何性质求解即可.【详解】圆的标准方程为，圆的圆心坐标和半径长分别是，故选D.【点睛】本题主要考查圆的标准方程应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3．抛物线的焦点坐标为（    ）A． B．， C． D．【答案】D【解析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标.【详解】解：整理抛物线方程得焦点在轴，焦点坐标为故选D4．双曲线 的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】B【详解】令，解得．选B．5．图中的直线的斜率分别为，则有（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.【详解】由图象可得，，故选：C6．若直线与平行，并且经过直线和的交点，则a，b的值分别为(    )A．－3，－4 B．3，4 C．4，3 D．－4，－3【答案】B【分析】联立直线方程可求得交点坐标，再根据平行和过交点得出方程组，分别求出a，b.【详解】由得，由题意得，解得.故选：B.7．若椭圆的焦点为，点为椭圆上一点，且，则的面积为（    ）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】A【分析】利用椭圆定义解决焦点三角形问题简单快捷.【详解】设，，则由且，可得，且，可得，所以．故选：A.8．当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设点，的中点的坐标为，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可.【详解】设点，的中点的坐标为，，由中点坐标公式可得，可得，又点在圆，则，即.因此，线段的中点的轨迹方程为.故选：C. 二、多选题9．若为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ）A．若，则斜率 B．若斜率，则C．若，则倾斜角 D．若倾斜角，则【答案】ABCD【分析】根据直线平行、斜率、倾斜角之间关系，可直接判断出结果.【详解】因为为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为，斜率分别为，若，则斜率相等，即；又斜率是倾斜角的正切值，所以，故AC正确；若，则，所以，故BD正确；故选：ABCD10．已知直线()与圆：，则（    ）A．对，直线恒过一定点B．，使直线与圆相切C．对，直线与圆一定相交D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为【答案】ACD【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过的定点；说明直线被圆截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．【详解】解：直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故A正确；圆：即圆：，圆心，半径，则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，C正确；因为，当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长，故D正确；故选：ACD11．对任意的，方程所表示的曲线可能为（    ）A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆【答案】ACD【分析】分别讨论的范围求方程所表示的曲线，即可得正确选项.【详解】当时，，，方程可化为，此时为直线；当且时，，，且，此时原方程可化为，此时表示椭圆；当时，时，可化简为表示圆，当时，，，方程可化为，此时为直线；当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线；当时，，原方程即，此时轨迹不存在；当时，，，此时方程表示的轨迹不存在；当时，，，原方程即，此时轨迹不存在；当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线，综上所述：方程所表示的曲线可能为双曲线、椭圆、圆，故选：ACD.12．已知P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线的左右焦点，O为原点，，则下列结论中正确的是（　　）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为C．的面积为36 D．点P到该双曲线左焦点的距离为18【答案】BD【解析】根据双曲线方程，可直接求出离心率和渐近线方程，判定AB的正误；再由题中条件，求出点坐标，即可求出的面积，以及点P到该双曲线左焦点的距离，判定CD的正误.【详解】因为双曲线中，，，则，所以左焦点为，离心率为，A错；令，则渐近线，B正确；由题意，设，， 则，，所以，因为，所以， 又，则，所以，整理得，解得或（舍），因此，所以的面积，C错；，D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，结合双曲线的方程，求出点坐标，进而即可求解出结果；此类题目计算量较大，需要考生具备较强的计算能力. 三、填空题13．若三点共线则的值为________.【答案】【分析】根据三点共线与斜率的关系即可得出．【详解】kAB1，kAC．∵三点共线，∴﹣1，解得m＝．故答案为．【点睛】本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．若椭圆的一个焦点坐标为，则的值为________.【答案】【分析】根据椭圆的焦点坐标，可确定，可得方程计算即得答案.【详解】由题意椭圆的一个焦点坐标为，可知，故 ，即，又因为,所以故答案为：15．已知椭圆的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．【答案】【解析】作出图形，设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为，计算出，再利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设椭圆的左、右焦点分别为、，设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为，则，，由勾股定理可得，由椭圆的定义可得，即，所以，该椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.16．P是非等轴双曲线上的一点，分别是双曲线C左､右焦点，若，则双曲线C的渐近线方程是__________.【答案】【解析】由双曲线定义可得，根据、已知可解得，再由渐近线方程是可得答案.【详解】因为，所以，又因为，，所以，即，解得或（舍去），所以双曲线C的渐近线方程是.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的定义、焦点三角形的问题，关键点是焦点三角形中，考查了分析问题、解决问题的能力. 四、解答题17．已知直线：；：n为常数.（1）若，求m的值；（2）若，且它们的距离为，求m，n的值.【答案】（1） ；（2），或 .【解析】（1）由，故，解出答案.（2）由，故，解得m的值，再由它们的距离为，求出.【详解】(1)直线：；：，若，则，求得.(2)若，则，求得，，故直线：；：.再根据它们的距离为，，或.综上可得，，或.【点睛】本题考查根据两条直线平行和垂直求参数的值，属于基础题.18．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：(1)斜率是且经过点；(2)经过两点；(3)在轴上的截距分别为，.【答案】(1)(2)(3). 【分析】（1）利用直线的点斜式方程进行求解即可；（2）利用直线的两点式方程进行求解即可；（3）利用直线的截距式方程进行求解即可.【详解】（1）由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；（2）由直线的两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；（3）由直线的截距式方程可知，所求直线方程，化为一般式方程为.19．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.【详解】（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．20．如图，已知圆的圆心在第一象限，与轴相切于点，与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）圆和圆相交于两点，求线段的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设出圆心坐标以及半径，再由圆心到直线的距离等于半径求出，进而得出圆的方程；（2）将两圆方程相减得出的直线方程，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式得出线段的长度.【详解】（1）已知圆的圆心在第一象限，与轴相切于点设圆心则圆的方程为由于该圆与直线相切于点故有，求得即圆的方程为（2）圆和圆相交于两点，把两个圆的方程相减可得直线的方程为由于点到直线的距离为故弦长21．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？【答案】(1)；(2)米. 【分析】（1）设出抛物线方程，根据点在抛物线上，代入即可求出抛物线方程；（2）设车辆高为h米，根据点在抛物线上，求出的值，从而可求出限制高度.【详解】（1）根据题意，设该抛物线的方程为，由图可知点在抛物线上，所以，即，所以该抛物线的方程为.（2）设车辆高为h米，则，故，代入方程，解得，所以车辆通过隧道的限制高度为米.22．已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值.（1）试求动点的轨迹方程C．（2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【分析】（1）求动点轨迹方程的步骤，一是设动点坐标二是列出动点满足的条件，三是化简，，四是去杂，；（2）联立椭圆的方程和直线的方程，消去，利用韦达定理得，结合弦长公式即可求解的值，即可直线的方程.【详解】解：（1）设点则依题意有整理得，由于，所以求得的曲线C的方程为.（2）设，由消去得，解得，又，解得，所以直线的方程为或.