2022-2023学年广西桂林市阳朔县阳朔中学高二上学期期中考试数学试题

阳朔中学2022年秋季学期高二年级数学期中考试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（每题5分，共40分）

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

2．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

3．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

4．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系（    ）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

5．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（    ）

A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5

6．已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知过点的直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于

C．与直线垂直 D．上的点与原点的距离最小值为

10．如图，在平行六面体中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知曲线C：，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则曲线C的渐近线方程为

B．若，则曲线C的离心率

C．若，P为C上一个动点，则的最大值为5

D．若，P为C上一个动点，则 面积的最大值为

12．已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（    ）

A．抛物线的方程为 B．线段的长度为

C． D．线段的中点到轴的距离为

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5 分，共20分）

13．双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.

14．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．

15．已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．

16．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____

四、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）

17．分别求出满足下列条件的直线的方程：

(1)经过直线和的交点，且与直线垂直；

(2)过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的4倍．

18．已知，；

(1)若，求实数的值；

(2)若，且，求的坐标．

19． (1) 求过点且与圆相切的切线方程.

(2) 已知圆，过点作直线与圆交于，两点，且，求直线的方程

20．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．

（1）求的值；

（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．

21．已知椭圆的左､右焦点分别为和，长轴长为8，直线被椭圆截得的弦长等于2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求△OAB的面积.

22．已知双曲线的离心率为，点在上.

(1)求双曲线的方程.

(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.

参考答案：

1．A   2．D   3．C    4．C    5．D   6．D.

7．A因为直线过定点，由，则圆心，半径，

当时，弦最短，此时直线的斜率，所以直线的斜率，

故直线为，则.

8．A  点B关于直线对称的点为．,

当且仅当当A、P、三点共线时，等号成立．此时取最小值，直线的方程为，即，令，得． 所以点P的坐标为：

9．AC 直线的方向向量为，则斜率，故直线为，即，对A， ∵，，故，A对；对B，由得，B错；

对C，直线斜率，由得与直线垂直，C对；

对D，上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，即，D错；

10．AC   选项A：.判断正确；选项B：.判断错误； 选项C：.判断正确；

选项D：.判断错误.

11．BCD  对于选项A，若，曲线C：表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为，A错误；对于选项B，若，曲线C：，则 离心率，B正确；

对于选项C，若，曲线C：， ，根据椭圆的性质，PF1的最大值为，C正确；

对于选项D，若，曲线C：，此时a＝3，，，根据椭圆的性质， 面积的最大值为，D正确；

12．BD  由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，

又经过的焦点，故，可得，即抛物线方程为：，A正确．

由，可得，解得或，

可得，，所以，B错误．

由以上分析可知，，，，可得，

则，即，C正确．因为，，故线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误，

13．    14．2

15．5  抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.

16．∵点F1、F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），

∵△是锐角三角形，∴∠AF1 F2＜45°，∴tan∠AF1 F2＜1，∴1，得b2＜2ac，

∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e1，或e1，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）．

17．（1）由，解得∴和的交点为．∵的斜率为，而直线l与直线垂直，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为，即．

（2）当l在x轴和y轴上的截距均为0时，可设l的方程为，把点代入可得，此时直线l的方程为；当l在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设l的方程为，把点代入可得，得，此时直线l方程的一般式为．综上可得l的方程为或．

18．（1）由已知得，，得，得

（2）设，由，可得，得到，求得，

，则或

19．（1）因为，所以点在圆外，所以过点的切线有条，当直线的斜率不存在时：切线方程为，符合题意，

当直线的斜率存在时，设过点的切线为，即，

由可得圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，整理得：，所以切线方程为：，即.所以过点且与圆相切的切线方程为或

（2）因为，所以圆心到直线的距离为，当切线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为1，不满足题意；所以，设直线的方程为，所以，，即，解得或，直线的方程为或

20．（1）由抛物线经过点可得：，又，可得，解得，；

（2）由（1）知，则，设，，根据点M为线段的中点，可得：，即，由点Q为抛物线C上，所以，

整理可得点M的轨迹方程为.

21．（1）由令得，解得，所以，

结合2a=8，解得，所以椭圆的标准方程为.

（2）由解得或

不妨设设，即，

所以，原点到直线的距离为，

所以.

22．（1）因为e=，所以，化简得.将点的坐标代入，可得，解得，所以的方程为.

（2）设，直线的方程为，联立方程组，消去得（1-，由题可知且，即且，

所以.

设存在符合条件的定点，则，

所以.

所以，化简得.因为为常数，所以，解得.此时该常数值为，所以，在轴上存在点，使得=.