2022-2023学年广西桂林市逸仙中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西桂林市逸仙中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据斜率求得倾斜角.

【详解】直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，

又，

即，

故选：D

2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.

【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.

故选：B

3．已知直线与直线垂直，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线垂直斜率之积为求解即可.

【详解】直线斜率为，直线斜率为，又两直线垂直，故，.

故选：D

4．椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可知的值，由离心率求出结果．

【详解】由题意知椭圆中，，，，

故离心率．

故选：A．

5．已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.

【详解】由，得，

∵直线与圆相离，

∴解得．

∴实数m的取值范围是，

故选:D．

6．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

7．若圆（为圆的半径）关于直线对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知直线过圆心，由此可求得实数的值.

【详解】由题意可知直线过圆心，所以，，解得.

故选：A.

8．直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（    ）

A．相交、相切或相离

B．相交或相切

C．相交

D．相切

【答案】C

【分析】方法一：求出直线过的定点，确定定点在圆内部，确定直线与圆相交；

方法二：求出圆的圆心和半径，从而利用点到直线距离公式确定圆心到直线距离，与半径比较得到直线与圆相交.

【详解】方法一:直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，

该直线恒过定点(1，2).

因为，

所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，

所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.

方法二:圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3.

圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝，

所以直线与圆相交.

故选：C

二、多选题

9．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可

【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，

又，

所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；

当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，

故选：BD

10．垂直于直线，且与圆相切的直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据垂直关系设出方程，利用直线与圆相切求出方程.

【详解】由得其圆心为（0，0），半径，

由题意可设所求直线方程为，则圆心到直线的距离，解得，

所以所求直线方程为或．

故选：AC．

11．点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.

【详解】设椭圆方程为，

设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，

则需，

，

即，，，

则，所以选项AC满足.

故选：AC.

12．椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4

C．的面积可能为2 D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】A：根据椭圆方程可直接求得，，，和离心率；B：由椭圆的定义可得，结合不等式代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．

【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；

对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；

对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；

对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，

故选：ABD．

三、填空题

13．若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______．

【答案】

【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的长轴，再由点到椭圆一个焦点的距离为，利用椭圆的定义即可算出点到另一焦点的距离.

【详解】 椭圆方程为：

椭圆的焦点在轴上，

且

可得，

即

又

由椭圆的定义：

解得：

点到另一个焦点的距离为

故答案为：.

14．已知圆与圆，若圆与圆相外切，则实数________.

【答案】2或－5

【分析】由两圆外切知连心线的长为两圆的半径之和，利用两点间距离公式即可求得

【详解】圆，圆，

则，，，.

当圆与圆相外切时，显然有，即，

 整理得，解得或.

故答案为：2或－5

15．直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【分析】由直线的性质可知过点，只需使点在椭圆内部或椭圆上，可得范围，又由椭圆的焦点在x轴上，所以有5>m，综合可得答案.

【详解】根据题意, 可得 过点 ，

要使直线与椭圆 总有公共点，只需使点 在椭圆内部或椭圆上, 则有 ，

又由椭圆 的焦点在轴上，则有；

综合可得 ，

故答案为：.

16．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．

【答案】##

【分析】利用已知条件推出，然后求解椭圆的离心率即可．

【详解】解：是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，

可得，所以，即，所以，解得，

所以．

故答案为：．

四、解答题

17．已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点，求此椭圆的标准方程．

【答案】或

【分析】分焦点在轴上和焦点在轴上设出椭圆方程，利用长轴长是短轴长的2倍以及过点建立方程组，求出参数即可.

【详解】当焦点在轴上时，设椭圆方程，则，解得，故椭圆方程为；

当焦点在轴上时，设椭圆方程，则，解得，故椭圆方程为；

综上，椭圆方程为或.

18．已知两条直线．设为实数，分别根据下列条件求的值．

(1) ∥；

(2)直线 在轴、轴上截距之和等于．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，结合两直线平行的公式，即可求解．

（2）根据已知条件，分别令直线中的，结合直线在轴、轴上截距之和等于6，即可求解

【详解】（1）∥

又

当时，，此时∥;

当时，，此时重合，

．

（2）

令，则；令，则，

直线在轴、轴上截距之和等于6，

，解得．

19．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.

【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；

（2）由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．

20．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切．

(1)求圆的标准方程;

(2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先设出圆M的标准方程，再根据过点及圆M与直线相切建立方程组求解即可；

（2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解.

【详解】（1）设圆M的标准方程为：

则圆心M到直线的距离为

由题意得，解得或舍去.

所以，所以圆M的方程为．

（2）设直线l的方程为

则圆心M到直线l的距离为

，因为，解得，

则直线的方程为．

21．已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)求直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合焦点坐标公式进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、直线斜率公式、等腰三角形的性质进行求解即可.

【详解】（1）椭圆的离心率为，

所以，因为右焦点为，所以，

所以椭圆标准方程为：；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得

，设，

设的中点为，因为以为底边作等腰三角形，顶点为，

所以，

，

，

所以直线的方程为.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

22．已知椭圆：（）的离心率为．圆（为坐标原点）在椭圆的内部，半径为．，分别为椭圆和圆上的动点，且，两点的最小距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)，是椭圆上不同的两点，且直线与以为直径的圆的一个交点在圆上．求证：以为直径的圆过定点．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，根据离心率为和求解；

（2）因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，所以直线与圆相切.（i）当直线垂直于轴时，由 判断；（ii）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由 与圆相切，得到m，k的关系，与椭圆方程联立， 计算即可

【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，

由圆的性质，

当点在椭圆上运动时，当处于上下顶点时最小，故，即

依题意得，

解得，

所以的方程为.

（2）因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，

所以直线与圆相切.

（i）当直线垂直于轴时，不妨设，，

此时，所以，故以为直径的圆过点.

（ii）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，，.

因为与圆相切，所以到直线的距离，

即.

由得，

所以，

，

，

，

，

所以，故以为直径的圆过点.

综上，以为直径的圆过点.