2022-2023学年广西钦州市第四中学高二上学期12月考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广西钦州市第四中学高二上学期12月考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有0~255种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，分析可得每种颜色有256种色号，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有种色号，即每种颜色有256种色号，
从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，则可以配成种颜色，
故选：．
2．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（ ）
A．甲法郎，乙法郎B．甲法郎，乙法郎
C．甲法郎，乙法郎D．甲法郎，乙法郎
【答案】A
【分析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.
【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，
因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.
故选：A.
3．已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“★”点.下列结论正确的是（ ）
A．椭圆上的所有点都是“★”点
B．椭圆上仅有有限个点是“★”点
C．椭圆上的所有点都不是“★”点
D．椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点
【答案】B
【分析】设点，由得出关于、的等式，由，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】设点，则，、，
，
，
由，得，即，
解得，此时，
所以，椭圆上有且只有个点是“★”点.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
4．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意知，剩余的几何体与堑堵的外接球是同一个球，先计算出该堑堵底面外接圆的直径，然后求出外接球的半径，最后利用球的表面积公式可计算出答案．
【详解】解：在堑堵中截掉阳马后，剩余的几何体为三棱锥，该几何体与堑堵的外接球是同一个球，
，，，，，
所以，直角的外接圆直径为，
所以，堑堵的外接球的直径为，，
因此，在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的表面积是．
故选：A．
5．霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论.管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥.某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），为了更高效学习，其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学不能组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，凑齐1，2号同学的一组即可，利用乘法原理和组合数计算即得.
【详解】因为3，4号不在同一个小组，3，4号其中一人和1，2号一组，有种选法，那么该小组还差2人，需从其余的6人中任选2人，有种方组方法，所以总共有种分组方法.
故选：A.
6．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法不正确的个数是（ ）
①残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；
②散点图越接近某一条直线，线性相关性越强，相关系数越大；
③在回归直线方程中，当变量x每增加1个单位时，变量就增加2个单位；
④残差平方和越小的模型，拟合效果越好.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据残差图与回归方程的关系可判断①的正误；利用散点图与线性相关、相关系数的关系可判断②的正误；利用回归直线方程中系数的含义即可判断③的正误；利用残差平方和与回归模型拟合效果的关系即可判断④的正误.
【详解】对于①，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明回归方程的预报精确度越高，所以①正确；对于②，散点图越接近某一条直线，说明线性相关性越强，相关系数的绝对值越大，所以②错误；对于③，在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加2个单位，所以③正确；对于④，利用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以④正确.
故选：B.
7．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）
参考公式：
附表：
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
【答案】C
【解析】根据题意可求出成绩优秀的学生数是，所以成绩非优秀的学生数是，即可求出的值，判断出的真假，再根据列联表求出K2，即可由独立性检验的基本思想判断出的真假．
【详解】由题意知，成绩优秀的学生数是，成绩非优秀的学生数是，所以c＝20，b＝45，选项A，B错误；根据列联表中的数据，得到＝≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题．
8．某工厂为了确定工效，进行了5次试验，收集数据如下：
经检验，这组样本数据的两个变量与具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是（ ）A．负相关，其回归直线经过点B．正相关，其回归直线经过点
C．负相关，其回归直线经过点D．正相关，其回归直线经过点
【答案】D
【详解】由表中数据可得随的增大而增大，故与成正相关关系．
又，
∴样本中心为．
又回归直线过样本中心，
∴其回归直线经过点．
故选：D．
9．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），下左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下右图为身高与臂展所对应的散点图并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（ ）

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
【答案】D
【分析】根据折线图数据判断，由回归直线方程、散点图判断．
【详解】对于，身高极差大约为21，臂展极差大约为26，故结论正确；
对于，根据散点图以及回归直线得到，身高矮一些，臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长些，故结论正确；
对于，身高为190厘米，代入回归直线方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但不是准确值，故结论正确；
对于，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归直线上的点并不都是准确的样本点，故结论不正确.
故选：D．
10．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ）
附：若随机变量，则，，
A．0.1359B．0.7282C．0.8641D．0.93205
【答案】A
【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，可求出阴影部分的面积，
【详解】根据题意，随机变量满足正态分布，
得，，则对称轴为，且，
根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积
．
故选：A
11．已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为，如果公路上每天有1000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为（ ）．（已知，，精确到）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式计算可得结果.
【详解】设发生车祸的车辆数为，记事件A为“公路上发生车祸”，
则，
故选：B．
12．体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的均值，则p的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求解X的均值，然后根据可得p的取值范围.
【详解】由题意X的所有取值1,2,3.
，，，
即，解得或（舍），
所以p的取值范围是.
故选：A.
二、填空题
13．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如下表所示．（残差=观测值-预测值）
根据表中数据，得出关于的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______．
【答案】
【分析】首先由已知条件求出的值，再由回归直线过样本中心点即可求解.
【详解】因为样本处的残差为，即，
所以，
所以回归方程为：，
因为，，
因为样本中心点在回归直线上，所以，
解得：，
故答案为：.
14．某汽车销售公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：万辆）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量的数据作了初步处理，得到年销售量与年宣传费具有近似关系：以及一些统计量的值如下：，，，．已经求得近似关系中的系数，请你根据相关回归分析方法预测当年宣传费（万元）时，年销售量______（万辆）．
【答案】780.6
【分析】根据回归直线过样本中心点求出，从而得出回归直线方程，再将代入即可求解.
【详解】由得，，
当时，，
∴预测年销售量为780.6万辆．
故答案为：780.6
15．已知随机变量的分布列如下：
则的值为__________．
【答案】##
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质进行求解即可.
【详解】由随机变量的分布列可知，
所以，
故答案为：
16．某商圈为了吸引顾客举办了一次有奖竞猜活动，活动规则如下：两人一组，在一轮竞猜活动中，每人两次竞猜机会，若两人猜对的次数之和不少于三次就可以获得一张奖券小蓝和她的妈妈同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为，，两人是否猜中相互独立若，则当小蓝和她妈妈获得一张奖券的概率最大时，的值为__________．
【答案】
【分析】根据独立重复事件的概率公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】设小蓝和她妈妈获得一张奖券的概率为，
因为两人猜对的次数之和不少于三次就可以获得一张奖券，且，
所以
当且仅当时取等号，即，或时取等号，
两种情况都有，
故答案为：
三、解答题
17．已知圆，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，且点满足线段，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点斜率为的直线与曲线交于，两点，试探究：
①设为坐标原点，若，这样的直线是否存在，若存在求出；若不存在说明理由；
②求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)①直线不存在，理由见解析；②
【分析】（1）运用相关点代入法求解轨迹方程即可；
（2）根据向量等式，求解直线的斜率k,结合联立方程组法确定k的取值范围，进而确定直线是否存在；根据中点坐标公式，再运用参数法求解点 D的轨迹方程.
【详解】（1）设，则，
设，，，
即.
（2）①设存在满足条件的直线l，设直线l方程为，
则
设，直线与圆交于两点，则，
由韦达定理得：，
，则
即，与不符，所以满足条件的直线不存在；
②MN中点坐标为：
，设MN中点D为
则，即
所以中点的轨迹方程为：.
18．已知椭圆E中心在坐标原点，方程为，直线与椭圆交于A、B两点.
（1）当k=1时，若椭圆E上存在点C使得点O、A、C、B构成平行四边形OACB，求直线方程；
（2）若直线过左焦点F(不与x轴重合)，弦AB中点为点P，过F作的垂线，且直线与直线OP交于点G，求点G所在的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据给定条件，联立直线l与椭圆E的方程，用m表示出点C的坐标即可作答；
(2)写出直线l方程，联立直线l与椭圆E的方程求出P点坐标，再联立直线OP与直线的方程即可得解.
【详解】（1）设，当k=1时，直线，
由与联立消去y得：，
于是得，，
又OACB是平行四边形，则，，即点，
而点C在椭圆E上，从而有，整理得，解得，
所以直线方程为；
（2）显然点，直线不垂直于y轴，设的方程为，
由与联立并消去x得：，
，由得，弦AB的中点，
于是得直线OP方程，又且过点F，则方程为，显然，否则直线OP与直线重合，与它们相交矛盾，
由 得，即点G 的横坐标恒为-4，
所以点G所在的轨迹方程为.
19．某小区采取一系列措施，宣传垃圾分类的知识与意义.为了了解垃圾分类的效果，该小区物业随机抽取了位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.在这份问卷中，持满意态度的频率是，岁及以下的居民的频率是，持不满意态度的岁及以上的居民的频率是.
（1）完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“岁及以上”和“岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异？
（2）按“岁及以上”和“岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取份调查问卷，再从这份调查问卷中随机抽取份进行电话家访求电话家访的两位居民的年龄都在岁及以下的概率.
附表及参考公式：
，其中.
【答案】（1）列联表答案见解析，有的把握认为“岁及以上”和“岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异；（2）.
【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照表格得出结论。
（2）利用抽样法则求出抽到的分数，再用列举法求出基本事件数，计算所求的概率.
【详解】解：（1）在这份问卷中，持满意态度的频数为，持不满意态度的频数为，
岁及以下的居民的频数是，持不满意态度的岁及以上的居民的频数.
所以列联表如下：
.
故有的把握认为“岁及以上”和“岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异.
（2）设电话家访的两位居民的年龄都在岁及以下为事件.
利用分层抽样的特点可知：“岁及以上”居民抽到份记为：，；
“岁及以下”居民抽到份记为：，，.
基本事件共有：，，，，，，，，，，共有10个.
满足条件的事件有：，，，共有3个.
.
20．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆方程；
(2)已知为坐标原点，为椭圆上非顶点的不同两点，且直线不过原点，不垂直于坐标轴.在下面两个条件中任选一个作为已知：①直线与直线斜率之积为定值；②的面积为定值，证明：存在常数，使得，且点在椭圆上，并求出的值.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据离心率，将点代入椭圆方程，解得答案.
（2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据题目条件化简得到，根据向量关系计算点坐标，代入椭圆方程，计算得到答案.
【详解】（1）依题意,解得，.椭圆方程为.
（2）设直线，由得，
，，，
若选①：
，
.
整理得.
由得，
，
因为点在椭圆上，
所以，.
若选②：
，整理得，
，，
.
由得
，
因为点在椭圆上，
所以，.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆中的向量求参数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，本题计算量较大，需要学生扎实的计算功底和细心，需要平时多练习.
21．已知圆心为的圆经过点三个点.
（1）求的面积；
（2）求圆的方程.
【答案】（1）3；（2）.
【解析】（1）求出，写出直线方程，求出到直线的距离，可得面积；
（2）设圆的一般方程为，代入三点为坐标，求出，得圆一般方程，可配方得标准方程．
【详解】（1）由已知，
直线方程为，即，到直线的距离为，
∴；
（2）设圆的一般方程为，
∵圆过三个点.，
∴，解得，
∴圆方程为，即．
【点睛】本题考查求三角形面积，求过三点的圆的方程．求过三点圆方程，一般可设圆的一般方程，代入三点坐标后解方程组即可，本题也可先证明，得圆心是中点，再求得半径即可得圆方程．
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计105
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
加工零件个数（个）
10
20
30
40
50
加工时间(分钟)
64
69
75
82
90
3
4
5
6
2.5
3
4
满意
不满意
总计
岁及以上的居民
岁及以下的居民
总计
满意
不满意
总计
岁及以上的居民
岁及以下的居民
总计