2022-2023学年广西梧州市藤县第六中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西梧州市藤县第六中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若直线l的方向向量为，则直线l的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设向量起点为原点，终点为，则直线的斜率即为直线的斜率.

【详解】取坐标平面内两点和，则，则直线斜率即为直线的斜率，而，所以直线的斜率为.

故选：D．

2．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．

【详解】依题意，是直线的一个方向向量，

所以直线的斜率，

所以直线的倾斜角为．

故选：C．

3．过点且方向向量为的直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据直线的方向向量，确定直线斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果.

【详解】因为所求直线的方向向量为，

所以该直线的斜率为，

又该直线过点，

因此所求直线方程为，即.

故选：C.

4．直线与直线的交点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】联立直线方程即可求出.

【详解】联立直线方程，解得，

故交点坐标为.

故选：C.

5．两平行直线与的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件利用平行线间距离公式直接计算即可得解.

【详解】直线化为：，于是得，

所以两平行直线与的距离为.

故选：B

6．已知椭圆方程为的一个焦点是，那么（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】把椭圆的方程化为标准形式，得到的值等于4，解方程求出．

【详解】解：椭圆 即，

焦点坐标为，所以，，，又，

，，

故选：A．

7．椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意得到，，，再求离心率即可.

【详解】因为椭圆，，，所以，

即.

故选：C

【点睛】本题主要考查直接法求椭圆的离心率，属于简单题.

8．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)

A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0

C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0

【答案】B

【详解】依题意，点在圆上，且为切点，因为圆心与切点连线的斜率为，所以切线的斜率，故圆的切线方程为，即，故选B.

二、多选题

9．已知圆：，则（    ）

A．点在圆的内部 B．圆的直径为

C．点在圆的外部 D．直线与圆相离

【答案】AD

【分析】根据点到圆心的距离与半径的关系可判断AC，由点到直线的距离可判断D，根据圆的方程可知半径进而可判断B.

【详解】对于A, 点与圆心的距离为，故在圆的内部，故A正确，

对于B,圆的半径为 故圆的直径为4，故B错误，

对于C，点与圆心的距离为，等于圆的半径，故在圆上，故C错误，

对于D，圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，故D正确，

故选：AD

10．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．过，两点的直线方程为

C．直线的倾斜角为

D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

【答案】AD

【分析】对于A，根据直线过定点的求法即可判断；

对于B，利用两点式方程判断；

对于C，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断；

对于D，求出三角形的面积即可判断．

【详解】对于A，因为直线可以化为：，令x－3＝0，则y－2＝0，解得x＝3，y＝2，所以直线过定点(3，2)，故A正确；

对于B，当时，过，两点的直线方程为，故B不正确；

对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确；

对于D，直线x－y－4＝0与两坐标轴的交点分别为(0，－4)，(4，0)，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确．

故选：AD．

11．已知圆：和圆：则（    ）

A．两圆相交 B．公共弦长为

C．两圆相离 D．公切线长

【答案】AB

【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案.

【详解】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为

圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为

所以两圆心的距离：，

两圆相交，选项A正确，选项C错误；

设两圆公共弦长为L，则有：

，选项B正确，选项D错误.

故选：AB

三、单选题

12．已知椭圆C：x21的焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A．|PF1|+|PF2|＝2

B．△PF1F2面积的最大值是

C．椭圆C的离心率为

D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切

【答案】D

【分析】结合已知条件分别求出椭圆标准方程中对应的、、，对于选项AC：根据椭圆定义以及椭圆离心率的概念即可求解；对于选项B：利用椭圆的焦点三角形的特征即可求解；对于选项D：求出以线段F1F2为直径的圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线距离即可求解.

【详解】由题意可知，椭圆C：x21的焦点在y轴上，长半轴长a，短半轴长，

设，，则，设，

对于选项A：|PF1|+|PF2|＝，故A错误；

对于选项B：因为△PF1F2面积为，故B错误；

对于选项C：椭圆的离心率e，故C错误；

对于选项D：以线段F1F2为直径的圆的圆心为原点O(0,0)，半径，

故原点O(0,0)到直线的距离，

从而以线段F1F2为直径的圆与直线x+y0相切，故D正确．

故选：D．

四、填空题

13．已知直线过定点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为______．

【答案】

【详解】直线的斜率 ，

则直线的一般式方程为： ，

整理为一般式为：.

14．焦点在轴上，焦距等于4，且经过点的椭圆标准方程是____________

【答案】

【解析】由题易知，，然后根据可求得的值，最后写出椭圆的方程即可.

【详解】因为椭圆的焦距等于4，故，所以，

又因为椭圆过点，所以，所以，

所以椭圆方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，考查计算能力，属于常考题.

15．已知满足，求的最小值__.

【答案】.

【分析】把的最小值转化为点到直线距离的平方，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】由于表示点与直线上的点的距离的平方，

转化的最小值为点到直线距离的平方，

由点到直线的距离公式，可得，

所以的最小值为.

故答案为：.

16．过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线被圆截得弦的长度为__________．

【答案】##

【分析】根据题意，设圆的圆心为，分析圆的圆心与半径，进而求出和的值，由三角形面积公式可得，代入数据计算可得答案．

【详解】根据题意，设圆的圆心为，则，圆的半径为1，

则，，

则，

解可得：，

故答案为：

五、解答题

17．已知的三个顶点坐标分别为，，，求：

(1)边所在直线的方程；

(2)边的垂直平分线所在直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用斜率计算公式可得直线的斜率，利用点斜式即可得出．

（2）利用中点坐标公式可得线段的中点坐标，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得的垂直平分线的斜率，利用点斜式即可得出．

【详解】（1）解：直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即

（2）解：线段的中点坐标为，

的垂直平分线的斜率为，

的垂直平分线的方程为，

即．

18．求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

【答案】答案见解析

【分析】将椭圆变形为，得出，，求出，进而得出结果．

【详解】将椭圆方程变形为，

所以，.

所以．

所以椭圆的长轴长和焦距分别为，，

焦点坐标为，，

顶点坐标为，，，.

所以离心率．

19．已知直线：；：．

(1)若，求的值；

(2)若，且它们的距离为，求， 的值．

【答案】(1)；

(2)；或

【分析】（1）求出直线的斜率，根据直线垂直的关系，得到关于的方程，求出的值即可；

（2）根据直线平行，求出的值，根据点到直线的距离求出的值即可．

【详解】（1）直线：，斜率是，

直线：，斜率是：，

若，则，

解得；

（2）若，则，解得

直线：，直线：，

在直线上取点，

则到的距离是：，

解得：或．

20．已知圆：.

（1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径；

（2）求直线：被圆C所截得的弦长.

【答案】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为5；（2）.

【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径.

（2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案.

【详解】（1）由可得该圆的标准方程为

其圆心为，半径为5

（2）圆心到直线的距离为

所以直线：被圆C所截得的弦长为

21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，

(1)求椭圆的标准方程；

(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可；

（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.

【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，

所以设椭圆的标准方程为：，

因为椭圆的离心率为且过点，

所以，所以椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）可知：，

所以直线的方程为：，代入椭圆方程中，得

，设，

所以，

因此.

22．已知椭圆：，分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）求椭圆的长轴和短轴的长，离心率，左焦点；

（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且，求的面积.

【答案】（Ⅰ）长轴，短轴，离心率，左焦点.（Ⅱ） .

【详解】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的方程及性质直接求解；

（Ⅱ）由椭圆的定义知.；勾股定理，得；，得即可.

试题解析：（Ⅰ）由椭圆知，，则，，故，

所以椭圆的长轴，短轴，离心率，

左焦点.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得.

由椭圆的定义知，

在中，由勾股定理，得

，得，

，.