2022-2023学年广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）上学期高二9月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）上学期高二9月月考数学试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.

【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.

故选：A.

2．已知向量，则与同向共线的单位向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得的模，再根据与同向共线的单位向量求解.

【详解】解：因为向量，

所以已知向量，

所以与同向共线的单位向量，

故选：C

3．下列命题中，正确的是（    ）.

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.

【详解】对于A;比如,不相等，但，故A错误；

对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；

对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；

对于D；若，，但不相等，故D错误；

故选：C

4．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果.

【详解】

.

故选：B

5．如图，在四面体中，，，，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由平面向量的线性运算求解．

【详解】连接，因为，所以，

因为，所以，

所以．

故选：C．

6．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断．

【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错.

当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.

故选：D

7．若，，则等于（    ）

A．5 B． C．7 D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.

【详解】∵，，∴两式相加得，

∴，∴，

∴，

故选：B．

8．若直线l经过点，且在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将截距范围转化为直线与线段有交点，利用斜率计算公式及其意义即可得出．

【详解】取直线与轴的交点，．

，．

直线与线段相交，

或．

故选：．

【点睛】本题考查了直线在坐标轴上截距的定义、斜率计算公式及其意义，考查了转化思想与计算能力，属于基础题．

二、多选题

9．已知是空间的一个基底，若，则错误的是（    ）

A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底

C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底

【答案】ABD

【分析】根据空间向量基底的概念逐项分析判断即可求出结果.

【详解】解：对于A选项，，所以共面，故错误；

对于B选项，，所以共面，故错误；

对于C选项，假设，即，得，这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，正确；

对于D选项，由C选项可知D选项错误.

故选：ABD

10．若直线的斜率，且过点，则直线经过点（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案.

【详解】直线的斜率，且过点，

对于A,计算，故A错误；

对于B,计算，故B正确；

对于C,计算，故C正确；

对于D,计算，故D错误；

故选：BC

11．下面四个结论正确的是（    ）

A．空间向量，若，则

B．若空间四个点，，则三点共线

C．已知向量，若，则为钝角

D．任意向量满足

【答案】AB

【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B

【详解】对于A：因为，，则，故A正确；

对于B：因为，则，即，

又与有公共点，所以三点共线，故B正确；

对于C：，

若为钝角：则，且与不共线，

由得，

当时，，即，由与不共线得，

于是得当且时，为钝角，故C错误；

对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，

故选：AB

12．定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ）

A． B．

C．若，则 D．

【答案】BD

【分析】理解新定义，对选项逐一判断

【详解】对于A，若为负数，可知，故A错误，

对于B，由定义知B正确，

对于C，若，则，共线，故C错误，

对于D，由定义知，故D正确．

故选：BD

三、填空题

13．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题

①若，则斜率；  ②若斜率，则；

③若，则倾斜角；④若倾斜角，则；

其中正确命题的个数是______．

【答案】

【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；

【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，.

①由于斜率都存在，若，则，此命题正确；

②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确；

③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确；

④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确；

所以正确的命题个数是4．

故答案为：．

14．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为______.

【答案】

【分析】首先求得与同向的单位向量，根据投影向量定义知所求为.

【详解】，与同向的单位向量，

在方向上的投影向量为.

故答案为：.

15．已知是空间两个向量，若，则cos〈〉＝________．

【答案】

【分析】根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.

【详解】由，可知，则，

，，则.

故答案为：.

16．若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由目标式表示在上点与所成直线的斜率范围，应用数形结合法及两点斜率公式求范围即可.

【详解】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围，

如图，，则，，故的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知空间三点、、，设，．

(1)若向量与互相垂直，求实数的值；

(2)若向量与共线，求实数的值．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可；

（2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.

【详解】（1）解：由已知可得，，

所以，，

，

由题意可知，

即，解得或.

（2）解：，

，

由题意，设，所以，，解得或.

因此，.

18．在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.

(1)求直线的方程；

(2)求直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.

(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.

【详解】（1）在中，，，，则边中点，边的中点，

直线DE的斜率，于是得，即，

所以直线的方程是：.

（2）依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，

所以直线的方程为：，即.

19．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点.设，，.

(1)用，，表示，；

(2)求证：，，，四点共面.

【答案】(1),

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得，，由向量的减法可得答案.

（2）用向量分别表示出，从而可得，从而可证.

【详解】（1），分别是，的中点，则且

所以，

，分别是，的中点，则且

（2），

，，

∴，

从而，，，四点共面．

20．如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点．

(1)求证：平面PFQ；

(2)求直线AE与平面PFQ间的距离．

【答案】(1)证明见详解；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明结合线面平行的判定推理作答.

（2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量计算直线与平面的距离作答.

【详解】（1）在平面内过点作，因平面，

则以点A为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

因是边长为4的正三角形，则，

线段BC中点，线段AC中点，线段CE中点，

，而，即有，又无公共点，

则，又平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知平面，则点A到平面的距离即为直线AE与平面PFQ间的距离，

设平面的法向量，而，

则，令，得，

因此点A到平面的距离，

所以直线AE与平面PFQ间的距离为．

21．四棱锥中，底面，，，，，是的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)具体见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量证明线面垂直，结合面面垂直的判定定理证明问题；

（2）由空间向量夹角公式即可求得答案.

【详解】（1）如图，由题意，以为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则.

，

则，所以，而，所以平面，而平面，所以平面平面.

（2），，设平面的法向量为，记直线与平面所成角为.

由，令z=1，则，所以.

即直线与平面所成角的正弦值.

22．如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【分析】（1）根据题意，得出，，根据线面垂直的判定定理得出平面，则，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；

（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的大小；

（3）设，，，求出，，，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．

【详解】解：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，

则，，

所以面，

又，可以建立以为原点，

分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），

可得，，，，，，，

（1）证明：由题意，，，

因为，所以.

（2）解：，，

设为平面的法向量，则

，即，

不妨令，可得，

平面的一个法向量，

因此有，

由图可得二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.

（3）解：（方法一）设，，

所以，因此，

令，即，

解得，即为的中点，

因为平面，平面，，

所以当为的中点时，平面平面，

此时即，

，

所以线段的长为.

（方法二）设，，

所以，因此，

设为平面的法向量，

则，即，

不妨令，可得，

因为平面平面，所以，

解得：，

此时即，，

所以线段的长为.

【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．