2022-2023学年广西玉林市第十一中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西玉林市第十一中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的加、减法，数量积的坐标运算求解即可.

【详解】对于A, ,故A错误；

对于B, ，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选:D.

2．已知两条平行直线,则与的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将直线进行化简,再利用平行线间的距离公式即可得出结果.

【详解】解:由题知,

即,

由,

根据平行线间的距离公式可得:

.

故选:B

3．经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求得两条直线和的交点坐标，

再利用直线垂直的等价条件以及直线的点斜式方程，即可求得该直线的方程.

【详解】由，可得，

又垂直于直线的直线的斜率，

则所求直线方程为，即.

故选：D

4．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论.

【详解】因为，，

所以．

故选：C

5．两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量夹角的公式即可求得两平面的夹角

【详解】，

又，则

则两平面的夹角为

故选：A

6．在正方体中，与平面所成角的正弦值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】证明与平面所成角为，再利用边的关系得到正弦值.

【详解】如图所示：连接与交于点，连接，过点作

与平面所成角等于与平面所成角

正方体平面

平面

与平面所成角为

设正方体边长为1

在中

故答案选B

【点睛】本题考查了线面夹角，判断与平面所成角为是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

7．不论为何实数,直线恒过一定点,则此定点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将方程展开,含的项中将提出,令前面的系数为零,其他项也为零,解方程组即可.

【详解】解:由题知,

化简可得:,

由于不论为何实数, 直线恒过定点,

只需,

解得,

故直线恒过定点.

故选:A

8．圆的圆心是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心坐标.

【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为,

故选：A.

【点睛】本题考查根据圆的一般方程求圆心坐标，属基础题.

二、多选题

9．已知直线l：，其中，下列说法正确的是（    ）

A．当时，直线l与直线垂直

B．若直线l与直线平行，则

C．直线l过定点

D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等

【答案】AC

【分析】对于A，代入，利用斜率之积为得知直线l与直线垂直；

对于B，由两平行线的一般式有求得，从而可判断正误；

对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点；

对于D，代入，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.

【详解】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；

对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；

对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；

对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.

故选：AC.

10．直线过点,若到直线的距离为2;则直线的方程可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】分情况讨论直线斜率是否存在,设出直线方程,用点到直线的距离公式求出参数即可.

【详解】解:由题知到直线的距离为2,且直线过点,

当直线斜率不存在时，

，

此时满足点到直线的距离为2,

故;

当直线斜率存在时,

设直线,

即,

则到直线的距离为:

,

解得: ,

代入直线方程有:

,

即.

综上: 为或

故选:AC

11．已知点，点是圆上任意一点，则面积的取值可为（   ）

A．4 B．8 C． D．

【答案】ACD

【分析】求出直线的方程，圆心与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最大、最小值，进而可求面积的范围.

【详解】直线的方程是,即,,

则当的面积取最大值与最小值时,边上的高即点到直线的距离取最大值与最小值,

由圆可得圆心,半径,所以点到直线的距离是.

由圆的几何性质得的最大值是,最小值为,

所以面积的最大值是,最小值为,

所以面积取值范围是.

故选:ACD.

12．关于空间向量,以下说法正确的是（    ）

A．空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面

B．若对空间中任意一点,有,则四点共面

C．设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底

D．若,则是钝角

【答案】ABC

【分析】将三个向量平移至共起点,由两个向量共线,可知三个向量一定共面,将写为,将式子移项,根据向量的减法,即可得,即四点共面,根据空间中基底是三个不共面的向量构成的,可得选项C的正误,若,夹角可为,可判断选项D.

【详解】解:由题知,关于选项A:

因为向量的两个要素为方向和大小,

跟向量所在位置无关,

可将三个向量平移至共起点,

根据两条相交直线可以确定一个平面知这三个向量一定共面,

故选项A正确;

关于选项B:

因为,

即,

即,

即,

即,

根据空间向量共面定理可得:四点共面,

故选项B正确;

关于选项C:

因为是空间中的一组基底,

则为不共面的三个向量,

与共线,与共线,

所以不共面,

故也是空间的一组基底,

故选项C正确;

关于选项D:

若,

则夹角可为,

不是钝角,

故选项D错误.

故选:ABC

三、填空题

13．直线（为常数）的倾斜角为___________.

【答案】##

【分析】由直线求出斜率,根据斜率和倾斜角的关系,求出倾斜角即可.

【详解】解:由题知直线的斜率为1,

记直线的倾斜角为,,

则,

所以.

故答案为:

14．圆心为且过原点的圆的方程是__________．

【答案】

【详解】由题意知圆的半径

圆的方程为

15．直线在轴上的截距为___________.

【答案】2

【分析】利用直线的截距式方程即可求得此直线轴上的截距

【详解】直线可化为，即

则此直线轴上的截距为2

故答案为：2

16．如图，正方形ABCD中，，若沿EF将正方形折成一个二面角后，，则AF与CE所成的角的余弦值为______.

【答案】##

【分析】根据题设条件可得二面角为直二面角，故补全为一个长方体，进而可找出AF与CE所成的角，再根据余弦定理即可解答.

【详解】依题意易知折成的二面角为直二面角，

把正方形ABCD折成的直二面角补全为一个长方体，如图所示:

设正方形ABCD的边长为2，则，

连结AF，CE，AH，FH，则平行于，

AF与CE所成的角即为AH与AF所成的角，

在三角形AFH中，由余弦定理得：，

所以AF与CE所成的角得余弦值为.

故答案为：.

四、解答题

17．，，.

(1)若，求.

(2)若，求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得，即可求出，再根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算计算可得.

【详解】（1）解：因为，且，

所以，即，即，即，

所以，

所以.

（2）解：因为，且，

所以，解得，

所以，

所以，，

所以.

18．已知直线和直线.

(1)当时,求的值;

(2)在（1）的条件下,若直线,且过点,求直线的方程

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据两直线垂直的性质列出方程,求出即可;

(2)由(1)中的值,可得直线的方程,根据,设出的方程,将点代入即可求得结果.

【详解】（1）解:由题知,,

,

,

解得:;

（2）由(1)知,

,

即,

,

设,

将代入中可得:

,

故,

即.

19．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．

【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

【详解】试题分析：建立方程组 ,解方程组，并删除增根.

试题解析：

圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①

又∵半径长r＝＝，

∴D2＋E2＝20.②

由①②可得或

又∵圆心在第二象限，∴－＜0即D＞0.

则

故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

20．一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足．

（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程；

（2）过作该圆的切线，求的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）设，直接用坐标表示并化简即可；

（2）分类斜率不存在和斜率存在，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数，得切线方程．

【详解】（1）设动点坐标为，则，，

又知，则，得．

（2）当的斜率存在为时，则的方程为：，与圆相切，

则，得：，

此时的方程为：；

当的斜率不存在时，此时的方程为：，

综上：的方程为或．

【点睛】本题考查求圆的方程，考查求圆的切线方程．求圆的方程采取直接法，即把已知关系用坐标表示化简即可，而求圆的切线方程必须分类讨论，即分斜率不存在和斜率存在两类，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求参数．

21．三角形的三个顶点是，，．

（1）求边上的高所在直线的方程；

（2）求边上的中线所在直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先根据斜率公式得，由于边上的高与所在直线垂直且过，故根据点斜式求解即可；

（2）由题知中点为，故再根据点斜式求解即可.

【详解】（1）边所在直线的斜率

因为所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为，

所以高线的斜率为，又因为高线所在的直线过

所以高线所在的直线方程为，即

（2）设中点为，则中点，又

所以边上的中线所在的直线方程为：，即：

【点睛】本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为，考查运算求解能力，是基础题.

22．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)求点E到平面的距离.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可；

（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.

【详解】（1）因为平面，平面，

所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，

则有，

，，，

因为，

所以，而平面，

所以平面；

（2）设平面的法向量为，

，

则有，

由（1）可知平面的法向量为，

所以有，

由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；

（3）由（2）可知：平面的法向量为，

，所以可得：

，

所以点E到平面的距离为.