2022-2023学年广西壮族自治区桂林市灵川县广西师范大学附属中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西壮族自治区桂林市灵川县广西师范大学附属中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．经过点，且斜率为2的直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】直接由直线的点斜式方程可得结果.

【详解】由于直线经过点，且斜率为2，故其直线方程为，

化简得，

故选：B.

2．圆的半径为（    ）

A．2 B． C． D．l

【答案】C

【分析】结合已知条件将圆的一般式化成圆的标准方程，然后根据圆的标准方程即可求解.

【详解】将圆化成标准方程为：，

由圆的标准方程可知，所求半径为.

故选：C.

3．在平面直角坐标系中，，，()，若点的轨迹为双曲线，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义中的条件可得答案.

【详解】，由点的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.

则，所以

故选: A

4．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切

【答案】A

【分析】由直线恒过定点，且定点在圆内，从而即可判断直线与圆相交.

【详解】解：因为直线恒过定点，而，

所以定点在圆内，

所以直线与圆相交，

故选：A.

5．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.

【详解】由双曲线知：且，

而其与椭圆有相同焦点，

∴且，解得，

故选：A

6．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2,1) B．(－1,2)

C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

【答案】A

【详解】∵过点和的直线的倾斜角为钝角

∴直线的斜率小于0，即.

∴

∴

故选A.

7．设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.

【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，

则，且，

又是的中点，则是的中位线，

则，且，

由双曲线定义可知，

由勾股定理知，，，

即，渐近线方程为，

所以渐近线方程为．

故选C.

【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.

8．设椭圆左、右焦点分别，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由点在椭圆外部得不等关系，变形后得离心率的一个范围，利用椭圆定义变形后，结合题意得不等关系，从而得的一个范围，再结合可得结论．

【详解】∵点在椭圆的外部，则，可化为，

∴，即．

由椭圆的定义得，

，

，

又∵恒成立，

∴，解得，即，

又，综上可得，

即椭圆离心率的取值范围是．

故选：D．

二、多选题

9．已知直线，，则（    ）

A．当变化时，的倾斜角不变 B．当变化时，过定点

C．与可能平行 D．与不可能垂直

【答案】AB

【分析】对四个选项一一验证：

对于A：由直线的斜率为即可判断；

对于B：由直线恒过定点即可判断；

对于C：用反证法证明；

对于D：当， 与垂直，即可判断.

【详解】对于A：当变化时，直线的斜率为，所以的倾斜角不变.故A正确；

对于B：直线恒过定点.故B正确；

对于C：假设与平行，则，即，这与相矛盾，所以与不可能平行.故C不正确；

对于D：假设与垂直，则，即，所以与可能垂直.故D不正确.

故选：AB

10．若圆与圆相切，则（    ）

A．16 B．7 C． D．9

【答案】AC

【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，分两圆外切和内切两种情况，求出的值即可.

【详解】圆的圆心坐标，半径，

由题意，圆可化简为，

所以，圆的圆心坐标，半径，

所以，，

当两圆外切时：，

当两圆内切时，由于，故有，

综上可得：或.

故选：AC.

11．已知椭圆的焦距为4，则（    ）

A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的倍

C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为

【答案】BC

【分析】根据条件先求解出的值，然后逐项判断焦点位置、长轴长和短轴长的数量关系、离心率以及椭圆上的点到焦点的最大距离.

【详解】因为，所以，所以焦点在轴上，故A错误；

又因为焦距为，所以，所以，所以，

所以长轴长，短轴长，所以，故B正确；

因为，所以离心率，故C正确；

因为椭圆方程，取一个焦点，设椭圆上的点，

所以，

又因为，当时取最大值，所以，故D错误；

故选：BC.

【点睛】结论点睛：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值：

（1）最大值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点两侧；

（2）最小值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点同侧.

(可利用点到点的距离公式结合椭圆方程进行证明)

12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（    ）

A．与共轭的双曲线是

B．互为共轭的双曲线渐近线不相同

C．互为共轭的双曲线的离心率为、则

D．互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上

【答案】CD

【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错；

对于B选项，双曲线的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为，B错；

对于C选项，设，双曲线的离心率为，

双曲线的离心率为，

所以，，当且仅当时，等号成立，C对；

对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，

双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D对.

故选：CD.

三、填空题

13．圆心在第一象限，半径为1，且同时与，轴相切的圆的标准方程为__________.

【答案】

【分析】首先根据题设条件确定圆心，结合半径直接写出圆的方程即可.

【详解】由题设，圆心在第一象限，半径为1，且同时与，轴相切，则圆心为，

∴圆的标准方程为.

故答案为：

14．经过椭圆的右焦点的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点，则△的周长为_________．

【答案】16

【分析】利用椭圆的定义即可得到答案．

【详解】如图所示：

由椭圆定义得，，

所以的周长为．

故答案为：16．

15．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则△的面积为_________．

【答案】20

【分析】根据椭圆的定义，结合，求得，再求三角形面积即可.

【详解】由，得，，所以，，

所以，设，，所以，

因为，所以，

所以，即，

所以的面积为．

故答案为：.

16．平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当时，曲线是一个圆；②当时，曲线的离心率为；③当时，曲线的渐近线方程为；④当曲线的焦点坐标分别为和时，的范围是.其中正确的结论序号为_______.

【答案】①③

【分析】设出动点的坐标,根据斜率之积为可求得动点的轨迹方程.依次代入的值可判断①②③;讨论当分别取和时焦点坐标,求得都为和,因而可判断④.

【详解】设动点

当时,

即,化简可得

又因为,满足

所以动点的轨迹方程为

当时,曲线的方程为,为圆心在原点,半径为的圆,所以①正确;

当时,曲线的方程为,可化为,为焦点在轴上的椭圆,所以,则离心率为,所以②错误;

当时,曲线的方程为,可化为,为焦点在轴上的双曲线,所以渐近线方程为,所以③正确;

当时,曲线的方程可化为,表示焦点在轴上的椭圆,则,则焦点坐标为和.

当时,曲线的方程可化为,表示焦点在轴上的双曲线,则,则焦点坐标为和.由以上可知,当焦点坐标为和时,的取值范围为,所以④错误.

综上可知,正确的序号有①③

故答案为: ①③

【点睛】本题考查了曲线方程的综合性质与应用,椭圆与双曲线的焦点与离心率性质的应用,分类讨论思想的应用,计算量较大,属于难题.

四、解答题

17．已知两点，，两直线：，：．

求：（1）过点且与直线平行的直线方程；

（2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程．

【答案】（1）（2）．

【详解】【试题分析】（1）设所求直线方程为：，将点坐标代入，求得的值，即得所求.（2）求得中点坐标和直线交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程.

【试题解析】（1）设与：平行的直线方程为：，

将代入，得，解得，

故所求直线方程是：．

（2）∵，，∴线段的中点是，

设两直线的交点为，联立解得交点，

则，

故所求直线的方程为：，即．

18．已知圆经过点．

(1)求圆的标准方程；

(2)已知点，求过点且被圆截得的弦长最短的直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将三点代入圆的标准方程即可求解；

（2）利用垂直与点斜式求解即可.

【详解】（1）设圆的标准方程为

因为圆经过点，

所以将代入，

解得，，，

所以圆的标准方程为.

（2）圆内一点且被圆截得弦长最短的直线必与垂直，

由（1）得，所以，

所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线方程为，

整理得.

19．已知双曲线的方程是

（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程;

（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小

【答案】（1）实轴长为，渐近线方程是；（2）.

【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，求出，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线方程；

（2）由双曲线的性质可得，再利用余弦定理求出，即可求出.

【详解】（1）将双曲线方程化为标准方程，则，实轴长为，

渐近线方程是.

（2），且,

则,

所以，故.

【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的方程，双曲线的实轴及渐近线，双曲线中焦点三角形，解题的关键是利用已知条件结合余弦定理求出焦点三角形中的角，属于基础题．

20．用坐标法证明：平行四边形的对角线的平方和等四条边的平方和．

【答案】证明见解析

【分析】以顶点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，根据平行四边形的性质得到点的坐标为，然后利用两点间距离公式即可证明.

【详解】如图所示，以顶点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则．设，，由平行四边形的性质得点的坐标为．

因为，，，，，

所以，

，所以，

因此，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

21．过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点．

(1)若，求直线的方程；

(2)证明：直线的斜率之和为定值．

【答案】(1)或

(2)证明见解析

【分析】(1)首先考虑斜率不存在是否满足题意，再考虑斜率存在时，假设直线方程，结合垂径定理列方程求解斜率即可；

(2)由题设得到点坐标,假设直线方程并联立圆的方程，结合韦达定理写出的表达式，化简即可.

【详解】（1）①直线垂直于轴时，可得出直线为，

此时直线与圆的两交点距离为，满足题意；

②当直线不垂直轴时，设直线方程为，

因为，所以半弦长为，由勾股定理得弦心距，

又有点到直线的距离公式可得弦心距，解得，

此时直线方程为，

所以满足题设条件的直线的方程为或

（2）由题设容易得到点坐标，

设直线方程为，联立圆的方程，可得关于的一元二次方程：，

设点，，由根与系数的关系（韦达定理）可得，，

的斜率，

的斜率，

则

，

所以与的斜率之和为定值，从而结论得证．

22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为为上一点，点在椭圆上，且．

(1)若椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的方程；

(2)若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.

（2）先判断出圆的直径，求得点的横坐标，根据点，均在轴上方列不等式，化简求得离心率的取值范围.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意，可得，

解得，，，

∴椭圆的方程为.

（2）方法一：设，，的中点为，

，

∵，

则的外接圆即为以为直径的圆的方程为：

，

整理得：，

由题意，焦点，原点均在该圆上，

∴，

消去可得，

∴，

∵点，均在轴上方，

∴

即，

∴，

∵，

∴，

方法二：∵，，，四点共圆且，

∴为圆的直径

∴圆心必为中点，

又圆心在弦的中垂线上，

∴圆心的横坐标为，

∴点的横坐标为，

∵点，均在轴上方，

∴

即，

∴，

∵，

∴，

故的范围为．