2022-2023学年广西壮族自治区梧州市苍梧中学高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西壮族自治区梧州市苍梧中学高二上学期11月期中考试数学试题

一、单选题

1．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆的方程即得.

【详解】因为圆的圆心为，

则圆的圆心坐标是.

故选：C．

2．已知向量，则（    ）

A．-2 B．2 C．-12 D．12

【答案】A

【分析】利用空间向量的坐标运算求出向量的和，进一步求出数量积.

【详解】由题目得

∴.

故选：A.

3．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．

【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．

故选：B．

4．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（    ）

A． B．或 C．或 D．或

【答案】B

【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.

【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，

当椭圆焦点在轴上，，所以，

当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.

故选：B.

5．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间向量夹角的坐标运算求异面直线与的夹角的余弦值，注意夹角范围.

【详解】设，所成的角为，则.

故选：D

6．已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，根据即得.

【详解】设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，

即，所以，

因为为直角三角形的直角顶点，

所以，故所求轨迹方程为．

故选：C.

7．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．

【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点，

过点作准线的垂线，垂足为，由,

依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，

如图所示，

故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得，

所以点，故选A．

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

8．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（    ）

A．9 B．3 C．4 D．8

【答案】B

【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解

【详解】法一：设，，则，

，∴．

又，∴，解得．

法二：由焦点三角形面积公式得

故选：B

二、多选题

9．经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（    ）

A．y=x B．x+y-2=0

C．x+2y-3=0 D．3x-y-2=0

【答案】AB

【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案.

【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：，

则，所以；

当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：，

把P（1，1）代入直线方程得：，解得：,

所以直线方程为：.

故满足条件的直线方程为：或.

故选：AB.

10．关于，的方程表示的曲线可以是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【答案】ABD

【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义及方程判断.

【详解】根据椭圆的定义，若即，

方程表示焦点在 轴上的椭圆，所以A正确；

若，即，则方程表示焦点在 轴上的双曲线，

所以B选项正确；

因为方程中既有又有，则方程不能表示抛物线，

所以C错误；

当即时方程为表示圆，

所以D正确.

故选:ABD.

11．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.

【详解】方法一：，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误；

方法二：

，故A正确；

由正方体的性质可知，，，

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：AC．

12．如图，，，，，弧CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，弧CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，弧BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w，则下述正确的是（    ）

A．曲线w与x轴围成的图形的面积等于2π

B．曲线w上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C．弧CB所在圆的方程为

D．弧CB与弧BA的公切线方程为

【答案】BC

【分析】作出辅助线，分割为一个矩形和一个圆，求出面积之和即可判断A选项；

找到整点个数，判断B选项；

求出弧CB所在圆的圆心为，半径为1，写出圆的标准方程，判断C选项；

设出弧CB与弧BA的公切线方程，利用点到直线距离等于半径求出公切线方程.

【详解】如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于点K，过点B作BL⊥x轴于点L，则曲线w与x轴围成的图形的面积等于矩形的面积加上一个半径为1的圆的面积，其中，故，故A错误；

曲线w上有，，，，5个整点，故B正确；

弧CB所在圆的圆心为，半径为1，故圆的方程为，故C正确；

设弧CB与弧BA的公切线方程为，根据图象知，则，，解得，，即公切线方程为，故D不正确．

故选：BC．

三、填空题

13．已知圆和圆交于两点，则直线的方程是___________.

【答案】

【分析】由两圆相交弦方程为两圆方程相减得到，将已知圆的方程相减即可得结果.

【详解】由两圆相交，则交线的方程由两圆方程相减得到，

所以直线的方程是.

故答案为：

14．已知点P（m，n）在圆上运动，则的最大值为______．

【答案】64

【分析】表示圆C上的点P到点的距离的平方，利用数形结合分析即得解.

【详解】解：由题得圆心C（2，2），半径r＝3．

表示圆C上的点P到点的距离的平方，

因为，所以，即的最大值为64．

故答案为：64

15．已知抛物线上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于，则直线的斜率为_______________．

【答案】

【分析】利用抛物线的定义可M点的横坐标，代入抛物线方程求出M的坐标，再利用斜率公式求解即可.

【详解】因为抛物线上一点M与焦点F的距离，

所以，

所以，进而有或（舍去）

所以点M的坐标为，

所以直线MF的斜率为.

故答案为：.

16．已知，分别是双曲线的左､右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A，两点，若是正三角形，则这条双曲线C的渐近线方程是___________.

【答案】

【分析】[解法1]先根据题意求得两点的坐标，进而得到、，再由是正三角形得到的关系式，进而求得的比值，从而可求得双曲线C的渐近线方程.

[解法2]根据双曲线的定义，结合正三角形的性质，直接得到的关系，进而取值，并利用的平方关系得到的关系，进而得到渐近线的方程.

【详解】[解法1]根据题意，易知，双曲线C的渐近线方程为，

因为过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A，两点，

所以不妨设，将代入双曲线方程得，解得，即，同理：，

所以，，

由双曲线的定义可知，即，

因为是正三角形，所以，即，得，即，

所以双曲线C的渐近线方程为.

故答案为：.

[解法2]

由题意为直角三角形，且,

故可设，则,如图所示：

由双曲线的定义得,

∴,∴,

∴,

∴双曲线的渐近线方程为，

故答案为：

四、解答题

17．已知直线l经过直线x＋3y-4＝0与直线3x＋4y-2＝0的交点P，且垂直于直线x-2y-1＝0．

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．

【答案】(1)；

(2)1.

【分析】（1）解方程组求出点P的坐标，由垂直条件求出直线l的斜率，并由点斜式写出方程作答.

（2）求出直线l与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.

【详解】（1）依题意，由，解得，则，

因为直线l与直线x-2y-1＝0垂直，设直线l的斜率为k，则，解得k＝-2，

所以直线l的方程为，即2x＋y＋2＝0.

（2）直线l：2x＋y＋2＝0与x轴的交点为，与y轴的交点为，

所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．

18．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，．

(1)求圆A的标准方程；

(2)求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；

（2）分别讨论直线l与x轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解得参数.

【详解】（1）设圆A半径为R，由圆与直线相切得，

∴圆A的标准方程为.

（2）i. 当直线l与x轴垂直时，即，此时，符合题意；

ii. 当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，

Q是MN的中点，，∴，即，解得，∴直线l为：.

∴直线l的方程为或.

19．在三棱锥中，底面，，，，

(1)证明：；

(2)求与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【详解】（1）∵，，，

∴，即，

因为平面，平面，

所以，

又，平面，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以；

（2）如图以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的法向量，

则有，令，则，

则，

所以与平面所成角的正弦值为.

20．已知椭圆：的离心率为，短轴长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆的性质得求解

（2）由点差法化简后得直线斜率，再求直线的点斜式方程

【详解】（1），，

又，所以，，，

椭圆的标准方程为；

（2）设，，

则，，

两式相减可得，

为线段的中点，则，，

，，

直线的方程为，整理得：．

21．在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，且， N为BE的中点，M为CD中点，

(1)求证：平面ABCD；

(2)求二面角的余弦值：

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知以A为原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得到，显然平面ABCD的法向量可以为，则可得到，即可证明；

（2）根据平面法向量的求法得出平面MNF的法向量为，平面MFD的法向量可以为，即可由二面角的向量计算得出答案.

【详解】（1）平面ABCD，且AB，平面，

，，

，即AE，AB，AD两两垂直，

以A为原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

平面ABCD是边长为2的正方形，，且，N为BE的中点，

则，，，则，

平面ABCD的法向量可以为，

，即，

又平面ABCD，

平面.

（2），，，，

因为，，设平面MNF的法向量为，则，

令，则，所以，

平面ABCD，，

平面ABCD，

平面，

，

，，DC，平面MFD，

平面MFD，

平面MFD的法向量可以为，

设二面角为，由图可知二面角为钝角，

则，

二面角的余弦值为.

22．设、分别是椭圆的左、右焦点.

（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值；

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

【答案】（1）的最大值；（2）斜率的取值范围为

【分析】（1）设P（x，y），向量坐标化得x2+y2﹣3．由此能够求出向量乘积的取值范围．

（2）设直线l：y＝kx﹣2，M（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：，由韦达定理和根的判别式知：或k，又0°＜∠AOB＜90°⇔cos∠AOB＞0⇔0，由此能求出直线l的斜率k的取值范围．

【详解】（1）根据题意易知，所以，

设P（x，y），则

x2+y2﹣3

．因为

故﹣2．

（2）显然直线x＝0不满足题设条件，

故设直线l：y＝kx+2，M（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y，整理得：，

∴，

由，

得：或k，

又0°＜∠AOB＜90°⇔cos∠AOB＞0⇔0，∴x1x2+y1y2＞0，

又y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4

．

∵，

即k2＜4，∴﹣2＜k＜2．

故由①、②得，或．

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积运算，考查运算求解能力及转化化归能力，注意判别式的应用，是中档题