2022-2023学年河北省唐山市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省唐山市第一中学高二上学期期末数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省唐山市第一中学高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知直线：，：，若，则实数的值为（    ）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】由两直线平行，得，解得，然后检验两直线是否重合即可.【详解】直线：，：，，则，解得，经经验，当时，两直线均不重合，故实数的值为或．故选：A．2．已知等差数列的公差不为，且为等比数列，则这个等比数列的公比是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等比中项的性质和等差数列通项公式可构造等式得到，由此可得，由此可得公比为.【详解】设等差数列的公差为，为等比数列，，即，整理可得：，又，，，，等比数列的公比为.故选：A.3．直线的倾斜角是（    ）A．230° B．140° C．130° D．50°【答案】D【分析】化直线的一般式方程为斜截式，则直线的倾斜角可求.【详解】可化为，，倾斜角为.故选：D4．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到的长度.【详解】，，，即线段的长度为.故选：D.5．已知点为双曲线：与椭圆：在第一象限的公共点，且椭圆的两个焦点为，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，双曲线与椭圆共焦点，所以，解出，由余弦定理代入即可得出答案.【详解】对于双曲线：，焦点在轴上，则，椭圆：，焦点在轴上，则，所以双曲线与椭圆共焦点，则，所以，所以，所以，故选：B.6．如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成二面角的平面角为，且异面直线与所成角为60°，则（    ）A．2 B． C．0 D．【答案】C【分析】即为平面与平面构成二面角的平面角，所以，设正方形边长为1，求出，，代入，解方程即可得出答案.【详解】根据题意可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，所以，设正方形边长为1，异面直线与所成的角为60°，故或，又，，,，所以即所以；所以，所以或2(舍去).故选：C.7．关于“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（    ）A．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项B．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项C．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项D．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项【答案】A【分析】依题意可得，根据反比例函数及指数函数的性质分析函数的单调性与值域，即可得到数列的单调性，即可判断.【详解】解：函数，令，由，解得，所以函数的定义域为，因为且，所以，则，则，所以函数无最大、最小值；又在，上单调递减，在定义域上单调递增，所以在，上单调递减，且当时，因为对于数列， 则，，且时，所以数列有最小项，有最大项.故选：A8．已知初中学过的反比例函数的图象是非标准状况下的双曲线，根据图象的形状及学过的双曲线的相关知识，推断曲线的一个焦点坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知求出曲线的、、，即可得解.【详解】解：曲线的实轴是，实轴与渐近线的夹角为，故，与的一个交点坐标是，则与曲线对称中心的距离，则，所以，故曲线的焦点坐标为，．故选：A． 二、多选题9．已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】设出点的坐标，根据，求出横纵竖坐标的关系式，代入检验即可.【详解】设，则又因为，所以，即选项BCD都满足题意.故选：BCD10．如图所示，边长为2的等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（    ）A．线段的中点在圆上运动B．直线与直线关于直线对称C．边与边所在直线的交点为D．的角平分线所在直线方程是，直线的方程为【答案】AB【分析】由题意，设边的中点为，则，所以的轨迹方程是为圆心，半径为的圆可判断A；求出，关于直线对称点可判断B；求出边与边所在直线的交点坐标，可判断C；求出直线的方程可判断D.【详解】由题意可知，、、、，对于A，设边的中点为，则，且，所以的轨迹方程是为圆心，半径为的圆，所以线段的中点在圆上运动，所以A正确；对于B，，，其中关于直线对称点为，其中关于直线对称点为，所以直线与直线关于直线对称，故B正确；对于C，直线的方程为，直线的方程为，联立可得，所以C不正确；对于D，设的倾斜角为，的角平分线的倾斜角为，所以，即，直线的方程为，故D不正确.故选：AB.11．设首项为的数列的前项和为，若（），则下列结论正确的是（    ）A．数列的通项公式为 B．数列的通项公式为C．数列为等比数列 D．数列的前项和为【答案】BD【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可判断A，再根据，作差求的通项公式出，即可判断B，再得到的通项公式，即可判断C，最后利用分组求和法判断D.【详解】解：因为，，则，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，故A错误；当时，所以，即，当时不成立，所以，故B正确；所以，显然，故不是等比数列，即C错误；因为，所以数列的前项和为，故D正确；故选：BD12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．知抛物线：（），为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．设，，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，平分，则点横坐标为3C．若，抛物线在点处的切线方程为D．若，抛物线上存在点，使得【答案】AC【分析】当得到抛物线方程，求出焦点坐标，设，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，即可判断A，假设平分，则，求出点坐标，利用焦半径公式求出，从而求出，即可判断B；当时得到抛物线方程，求出点坐标，利用导数求出切线方程，假设存在点，使得，则，推出矛盾，即可得解.【详解】解：当时抛物线，则，设，由，消元得，所以，所以，故A正确；若平分，则，且，所以，由，解得或，所以，所以，所以，所以，故B错误；当时抛物线，则，，所以，由，则，所以，所以抛物线在点处的切线方程为，即，故C正确；若存在点，使得，则，而，，所以，即，即，显然不符合题意，故D错误；故选：AC 三、填空题13．直线：（）恒过的定点是______．【答案】【分析】依题意可得，再令，解得即可.【详解】解：直线：（），即，令，解得，所以直线恒过定点.故答案为：14．已知数列的通项公式为，数列的前项积为，取最大值时的值为______．【答案】或【分析】先求数列的单调性，然后每一项与比大小，就可求解.【详解】当时；当时，即又因为当时，知道恒成立，所以即时而故取得最大值时得值为或故答案为：或15．如图：正四棱锥中，若高为，底面边长为，为的中点，并建立如图所示的空间直角坐标系，若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹方程是______．【答案】【分析】利用点到直线距离的向量求法可构造方程，整理即可得到所求轨迹方程.【详解】，，，，，，，，点到直线的距离，点到直线的距离，，即，整理可得：，即点轨迹方程为：.故答案为：.16．已知椭圆：的左、右焦点为，，下顶点为，过点作直线垂线，交椭圆于，两点，则的周长是______．【答案】【分析】根据椭圆方程求出、、，即可得到为等边三角形，则为线段的垂直平分线，所以，，再根据椭圆的定义计算可得.【详解】解：椭圆：，则、、，所以，，，则即为等边三角形，所以为线段的垂直平分线，所以，，所以.故答案为： 四、解答题17．直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为．(1)求点到平面的距离；(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，或 【分析】（1）根据已知建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求点到面的距离即可；（2）设点，利用空间向量列出线面角的正弦值式子另其等于，解出即可.【详解】（1）由题意可知：四边形为矩形，则点为中点，又直三棱柱中，，以B为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，则可取，点A到平面的距离；（2）假设存在点P使直线PD与面所成角的正弦值为，记为，，则，其中，则，由第一问知为平面的一个法向量，则，即，则，则，解得或，又，故存在点P使直线PD与面所成角的正弦值为，此时，或.18．已知等差数列前项和为，且，（）；已知数列是单调递增的等比数列，且，．(1)求数列、的通项公式；(2)若，求数列的前项和为．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，即可得到，再由可得，求出、，即可求出通项公式，根据等比数列下标和性质得到，即可求出、，从而求出公比，即可得解；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由，所以，则，又，所以，所以，又，所以，所以，所以，因为，所以，又，解得或，又数列是单调递增的等比数列，所以，所以，则，所以.（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以，所以.19．已知动点在圆：上运动，轴，垂足为，以为圆心，为半径的圆和圆相交于、两点，弦与相交点．(1)若点的坐标是，求；(2)求点的轨迹方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）直线就是两个圆做差后所得的公共弦所在的直线方程，然后再求圆的弦即可.（2）设先求两个圆公共弦弦所在的直线方程，求出点的坐标用表示，又因为点在圆上，找到的关系式可求.【详解】（1），以为圆心，为半径的圆的方程为.由两个圆方程相减可得方程：，所以，则点到的距离为，所以.（2）设点，所以方程为：，则以为圆心，为半径的圆的方程为，所以的方程为：，所以，即，当时，，所以，所以，所以点的坐标为，且，所以，所以，所以，所以点的轨迹为：.20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，，分别为，的中点．(1)证明：；(2)设点为线段上的一个动点（不包括端点），求平面与平夹角余弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，连接，过点作交于点，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；（2）设，即可表示出，求出两平面的法向量，即可得到两平面夹角的余弦值，最后根据二次函数的性质计算可得.【详解】（1）证明：取的中点，连接，过点作交于点，因为为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又底面为正方形，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以.（2）解：由（1）可知，，则，，，因为点为线段上的一个动点（不包括端点），设，则，设平面的法向量为，则，取，则，，，设平面的法向量为，则，不妨取，设平面与平夹角为，则，所以当时，即平面与平夹角余弦值的最大值为.21．已知数列满足，，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)记的前项和为，若，均有，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由已知递推关系式可得，根据等比数列定义可证得结论；（2）由等比数列通项公式可求得，整理可得，结合可确定，得到；利用等比数列求和公式可得，采用分离变量法可求得；采用作差法可求得单调递增，由此可得，进而构造不等关系求得结果.【详解】（1）由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得：，即，，又，数列为常数列且，即，，，则由得：令，则；当为奇数时，恒成立，则；当为偶数时，，单调递增，；综上所述：单调递增，，，解得：，即实数的取值范围为.22．已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且．(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线的左顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，连接，分别交于轴于点，，且，求直线的方程及的面积．【答案】(1)(2)直线的方程为；的面积为. 【分析】（1）由题意可得，再由到双曲线一条渐近线的距离可得，进而得到双曲线方程；（2）设直线，把直线方程带入双曲线方程整理可得：，求得方程，求得两点坐标，再由，求出，即可求出直线的方程，最后由三角形面积公式求出的面积.【详解】（1）因为双曲线的左、右焦点为，，所以，双曲线：的渐近线为，因为，所以到双曲线一条渐近线的距离为：,则，所以双曲线：.（2）证明：由题意可得，设直线，由，消去，整理得：，，可得，，设直线方程，可得，设直线，可得，所以，因为所以，又所以，所以，即，所以直线的方程为：.则.