2022-2023学年河南省新乡市长垣市高二上学期11月期中测试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省新乡市长垣市高二上学期11月期中测试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省新乡市长垣市高二上学期11月期中测试数学试题 一、单选题1．直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线方程化为斜截式，即可求出直线的斜率.【详解】解：直线即，所以直线的斜率为.故选：C2．已知空间向量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案.【详解】因为，所以，故.故选：A3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】采用假设向量共面，则根据共面向量定理可列出方程组，根据该方程组解的情况，判断选项,根据，判断C.【详解】对于A，假设，，共面，则存在实数使得，则，此方程组无解，假设不成立，，，不共面；对于B, 假设，，共面，则存在实数使得，则，此方程组无解，假设不成立，，，不共面；对于C,因为，故，，共面．对于D, 假设，，共面，则存在实数使得，则，此方程组无解，假设不成立，，，不共面；故选：C4．圆与圆的公切线共有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【分析】判断出两圆的位置关系即可得结果.【详解】圆即的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；圆心距为，满足，即两圆相交，所以公切线共有2条，故选：B.5．如图，在正四面体中，是的中点，，设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】连接因为是的中点，，所以，故选：B6．方程表示的曲线为（    ）A．圆 B．圆的右半部分C．圆 D．圆的上半部分【答案】D【分析】平方后可判断曲线的形状.【详解】因为，所以，即，故方程表示的曲线为圆的上半部分.故选：D.7．若空间中有三点，，．则点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出平面的法向量，后用点面距离相关公式可得答案.【详解】由题，，．设平面的法向量为，所以令，得．因为，所以点到平面的距离为.故选：A8．已知圆：（），直线：．若对任意实数，圆上到直线的距离为1的点有4个，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线过定点，根据圆到直线的距离最大为求解即可．【详解】解：设直线过定点，不论取何值，到直线最远的距离始终为，，解得．故选：D．9．台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长.【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点，由题意知：，，，作，垂足为，则为中点，，，，城市处于危险地区内的时长为.故选：D.10．已知曲线，则曲线上的点到点的距离的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简曲线的方程，作出曲线的图形，以点为圆心作圆，分析可知当圆与曲线相切时，点到曲线上的点的距离取最大值，即可得解.【详解】曲线的方程可化为，当，时，曲线的方程为；当，时，曲线的方程为；当，时，曲线的方程为；当，时，曲线的方程为.画出曲线，如图所示．以为圆心作圆与曲线相切，设其中一个切点为，记点，则曲线上的点到点的距离的最大值为.故选：D.11．如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且，M，N，P分别为AB，，的中点，则（    ）A． B．平面BDNC． D．平面MNC【答案】D【分析】根据已知条件求得在底面的射影，由此建立空间直角坐标系，进而对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】先证明在底面上的射影在上：过作平面，垂足为，过作，垂足为；过作，垂足为.连接.由于平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.同理可证得.由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以是的角平分线，由于四边形是菱形，所以点在上，也即在底面上的射影在上.依题意，由于，所以，所以是的中点，也即，如下图所示，则平面，由于平面，所以，由于，所以两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系.，，所以，，,A选项，由于不存在实数，使，所以不平行，A选项错误.B选项，，所以与不垂直，所以与平面不垂直.C选项，，所以与不垂直，C选项错误.D选项，设平面的法向量为，则，故可设，所以，，因为平面，所以平面，D选项正确.故选：D12．已知正四面体的棱长为6，是四面体外接球的球面上任意一点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知结合正多面体外接圆的求法求出四面体外接球的半径，取的中点，即可根据已知确定的范围，并根据向量的运算得出，即可得出答案.【详解】如图，设、分别为、的中点，作平面，垂足为，则由正四面体的性质可得，正四面体的外接球的球心在上，设球心为，因为正四面体的棱长为6，且为正三角形，所以，，设四面体外接球的半径为，则，则，即，解得．因为，因为，所以，所以外接球的球心到弦的距离．根据向量的运算可知：．因为是四面体外接球的球面上任意一点，则即，则，则，故选：B. 二、填空题13．直线与平行，则______．【答案】6【分析】由两直线平行得系数间的关系，列出方程，检验求得a的值.【详解】由，得或．当时，两直线重合；当时，符合题意．故答案为：6.14．已知空间向量，，，且，，若，则______．【答案】【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得.【详解】，由于，且，所以，则，所以，则，所以.故答案为：15．圆，关于直线对称的圆的标准方程为___________.【答案】【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，设对称圆的圆心，利用和中点在上可构造方程组求得坐标，由此可得结果.【详解】由圆方程可得：圆心，半径，设圆心关于的对称点，则，解得：，即，圆的标准方程为：.故答案为：.16．如图，将正三角形绕旋转到三角形的位置，当二面角的大小在时，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为______．【答案】【分析】抓住分别用和表示，从而建立与之间的关系，进而求解可得．【详解】解：取中点E，连接，EC，，则为二面角的平面角，面，过点B作，过点C作，，连接，则面，四边形为菱形，如下图直线与直线所成角即为与所成角，设为，设正三角形边长为2，则，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，，即，整理得，，，，又，∴直线与直线所成角的余弦值为．故答案为：．【点睛】本题的易错点为忽视直线与直线为异面直线，求得余弦要加绝对值．本题也可用向量法求解：选、、为基底把与表示出来，用数量积可求得． 三、解答题17．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出，，，，五点的坐标；(2)求．【答案】(1)，，，，(2) 【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标；(2)先求向量的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解.【详解】（1）由题可知，，，，，（2）由（1）可知，，，则，则.18．（1）求两条平行直线与间的距离；（2）求过点且与直线垂直的直线方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根据平行线间的距离公式即可得结果；（2）根据垂直关系设所求直线的方程为，将点代入求出值即可.【详解】（1）两条平行直线与间的距离.（2）依题可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得.则，故所求直线的方程为.19．在长方体中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点.(1)证明：平面.(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.（1）利用向量法证明平面；（2）利用向量法求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）由题意可知，以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.因为分别是的中点，所以,.所以在长方体中，为平面的一个法向量.因为，且平面，所以平面.（2）,.设为平面的一个法向量，则，不妨设，则.设与平面所成角为，则.即与平面所成角的正弦值为.20．已知圆的圆心坐标为，，且圆与轴相切，并与圆外切．(1)求圆的标准方程；(2)若经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．【答案】(1)(2)直线方程为：或，见详解 【分析】（1）先化简圆方程找出半径，圆心，由圆与轴相切，并与圆外切，联立方程组解出即可的方程（2）分直线斜率存在不存在的情况讨论，利用圆与直线的位置关系求解即可.【详解】（1）由圆，知标准方程为：，圆心为，半径为3设圆的半径为，且圆与轴相切所以                    ①又圆与圆外切所以       ②联立解的所以圆的标准方程为（2）①当直线斜率不存在时，方程为：此时代入中解的：所以满足题意所以直线方程为：②当直线斜率存在时，设斜率为，又经过点则直线方程为：即由圆的圆心到直线的距离为由直线与圆交两点，且，圆的半径为所以即解得：所以直线方程为：21．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图以为坐标原点，、、分为、、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，则，即，令则，设平面的法向量为，则，即，令则，因为，所以，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面的法向量为，显然平面的法向量可以为，所以，所以，所以二面角的正弦值为.22．已知直线与圆相交于、两点．(1)若直线始终平分圆的周长，求的值；(2)若以为直径的圆经过点，求的值．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出圆心的坐标，将圆心的坐标代入直线的方程，可求得实数的值；（2）设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，分析可得，利用韦达定理结合平面向量数量积的运算可求得实数的值，结合可得结果.【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心的坐标为，故，解得．（2）解：设、，联立，消去整理得．，即，解得，由韦达定理可得，因为以为直径的圆经过点，所以，因为，，则，解得或，均满足，综上所述，或.