2022-2023学年河南省郑州市第四高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省郑州市第四高级中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆的方程即得.

【详解】因为圆的圆心为，

则圆的圆心坐标是.

故选：C．

2．下列四个数中，属于数列中的一项是（    ）

A．380 B．392 C．321 D．232

【答案】A

【分析】分别令选项中的数值等于，求出是自然数时的这一项，即可得到答案．

【详解】由题意，令，解得，所以A是正确的；

再令均无整数解，所以B、C、D都不正确，

故选：A．

3．在直三棱柱中，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.

【详解】由已知得，

故选：C

4．已知直线，，若，则实数的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解

【详解】由．

故选：A．

5．等比数列,…的第四项等于(     )

A．-24 B．0 C．12 D．24

【答案】A

【详解】由x，3x+3，6x+6成等比数列得

选A.

【解析】该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力.

6．已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．或5 D．

【答案】D

【分析】根据焦点在轴上的双曲线的方程特征进行求解即可.

【详解】若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得．

故选：D．

7．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解.

【详解】由题设知，解得，

所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．

故选：C.

8．如图，直三棱柱底面是直角三角形，且，E，F，G分别为，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，代入公式中即可求解.

【详解】

设，则，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

则，，，

设平面的法向量为，则取，则，，故为平面的一个法向量，

设EF与平面所成角为，则，

∴与平面所成角的正弦值为．

故选：A．

9．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过点作准线的垂线，垂足为．过点作直线的垂线，垂足为，由条件得，求出，即可求出直线的方程与抛物线联立，即可求出的坐标，则表示出的面积代入即可得出答案.

【详解】依题意作图．抛物线的准线方程为，过点作准线的垂线，

垂足为．过点作直线的垂线，垂足为，由条件得，

设，则，，

直线的方程为：，由于点在抛物线上，，

解得或（不符合题意，舍），

，所以，

．

故选：C．

10．直线与曲线恰有两个交点，则实数取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】曲线表示圆在轴的上半部分，

当直线与圆相切时，，解得，

当点在直线上时，，可得,

所以实数取值范围为.

故选：B.

11．过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】由切线，展开根据双曲线的定义以及双曲线的性质即可求解.

【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，

．

故选：B

12．等差数列的前项和为，若，则满足的最小的正整数的值为（    ）

A．31 B．32 C．33 D．34

【答案】C

【分析】根据等差数列等差中项的概念及推论，结合前项和公式化简判断.

【详解】由，

可得，

又由，

则有，，

所以，，，

可得当时，，

故选：C.

二、填空题

13．已知圆与直线相切，则实数______．

【答案】0或

【分析】根据配方法，结合圆的切线性质、点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】由，圆的圆心为，半径，∵圆和直线相切，∴或．

故答案为：0或

14．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为__________．

【答案】##

【分析】根据点到平面距离的向量求法求解即可．

【详解】由题意，，，故，所以点到平面的距离为．

故答案为：

15．在前n项和为的等差数列中，，，则______．

【答案】27

【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项列方程求.

【详解】由等差数列片段和性质：成等差数列，

所以，故.

故答案为：27

16．已知双曲线：（，），以原点为圆心，双曲线的焦距为半径的圆交轴于，两点，，是圆与双曲线在轴上方的两个交点．且，两点是的三等分点，则双曲线的离心率为______．

【答案】

【分析】根据已知条件作出图形，利用三角形的勾股定理及双曲线的定义，结合双曲线的离心率公式即可求解.

【详解】不妨设点在第二象限，双曲线的左、右焦点分别为，．如图所示，

∵，是的三等分点，∴，过点作轴的垂线，可得垂足为双曲线的右焦点．

在中，，

则在中，．

根据双曲线的定义可知，即，

所以双曲线的离心率为．

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列满足，．

证明：数列是等比数列；

设，求数列的前n项和．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；

由对数的运算性质可得，再由裂项相消求和，化简可得所求和．

【详解】解：证明：数列满足，，

可得，

即有数列是首项为2，公比为3的等比数列；

由可得，

即有，

数列的前n项和．

【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

18．已知圆的方程为．

(1)求实数的取值范围；

(2)若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可；

（2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值.

【详解】（1）方程可化为，

∵此方程表示圆，

∴，即，即.

（2）由（1）可得圆心，半径，

则圆心到直线的距离为，

由弦长公式及，得，解得，

∴，得．

19．已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．

(1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；

(2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解.

（2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解.

【详解】（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴，

又∵且，解得，

∴双曲线的方程为，

∴双曲线的渐近线方程为；

（2）设直线的方程为且，

联立,可得，

则，∴，即，

∴

解得，即由可得，

故双曲线的离心率为．

20．如图，在三棱锥中，底面，，，，，，分别是上的三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）用余弦定理求出，从而得到，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；

（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.

【详解】（1）证明：，，，

根据余弦定理得，

所以，

所以，

以点为坐标原点，，所在直线为，轴，经过点垂直于，的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，

，，

，

平面

（2），，，

设平面的一个法向量为，

由，所以

令，则，，

可得，

设平面的一个法向量，

由令，得，，

可得，

，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

21．已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在定点；

【分析】（1）根据题意确定的值，即可求得椭圆方程；

（2）设 ，直线 的方程为，联立方程可得根与系数的关系式，假设x轴上存在定点P，使平分，则可得 ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论.

【详解】（1）因为椭圆的长轴长为6，故，

椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点，则，

所以椭圆C的方程是 ；

（2）设 ，直线的方程为，

将直线的方程与椭圆C的方程联立，

消去x得，因为M点在椭圆内，则必有，

所以，，

假设x轴上存在定点P，使平分，则直线的倾斜角互补，

所以 ，

设 ，则有 ，

将代入上式，整理得 ，

所以，

将 ，代入上式，整理得 ，

由于上式对任意实数m都成立，所以 ，

综上，存在定点 ，使平分 ．

22．如图，已知抛物线：（）上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点．

(1)求抛物线的方程；

(2)证明：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据抛物线的性质即可求解；

（2）利用判别式求出切线的斜率，求出切点的坐标以及直线的方程，表示出，的坐标，即可证明为定值.

【详解】（1）抛物线：（）的焦点坐标为，

因为此抛物线上到焦点距离最近的点就是坐标原点，

所以，，所以抛物线方程为；

（2）证明：设直线：，

由可得，

则，解得，

则，解得，

不妨令直线：，直线：，

则，，

设，，设直线：，

由可得，

由，

可得或（舍），

则，直线：．

由解得即，

故

为定值．